Question

Известно, что x^2 + xy + y^2 = 4, x^4 + x^2*y^2 + y^4 = 8. Нужно найти x^6 + x^3*y^3 + y^6. Помогите пожалуйста

Answer 1

Решение приложено

-------------------------------------------------------------------------------------------

Answer 2

$\left\{\begin{array}{c}x^2 + xy + y^2 = 4\\x^4 + x^2*y^2 + y^4 = 8\end{array}\right.=>\left\{\begin{array}{c}(x^2 + y^2) + xy = 4\\(x^2 + y^2)^2-(xy)^2 = 8\end{array}\right.=>\\ \left\{\begin{array}{c}(x^2 + y^2) + xy = 4\\((x^2 + y^2)-(xy))((x^2 + y^2)+(xy)) = 8\end{array}\right.=>\left\{\begin{array}{c}(x^2 + y^2) + xy = 4\\(x^2 + y^2)-(xy) = 2\end{array}\right.=>$

$\left\{\begin{array}{c}(x^2 + y^2) = 3\\(xy) = 1\end{array}\right.\\ 27=3^3=(x^2 + y^2) ^3=x^6+3x^4y^2+3x^2y^4+y^6=x^6+y^6+3(xy)^2(x^2+y^2)=x^6+y^6+3*1^2*3=x^6+y^6+9=>x^6+y^6=27-9=18=>\\ =>x^6 + x^3*y^3 + y^6=x^6+y^6+(xy)^3=18+1^3=19$

Ответ: 19

Answer 3

Давайте рассмотрим данную систему уравнений:

1. $x^2 + xy + y^2 = 4$
2. $x^4 + x^2y^2 + y^4 = 8$

Мы хотим найти значение $x^6 + x^3y^3 + y^6$. Давайте попробуем выразить $x^6 + x^3y^3 + y^6$ через данную систему.

Возведем первое уравнение в квадрат:

$(x^2 + xy + y^2)^2 = 16$ $x^4 + 2x^3y + 3x^2y^2 + 2xy^3 + y^4 = 16$

Теперь выразим $x^4$ и $y^4$ из второго уравнения:

$x^4 + x^2y^2 + y^4 = 8$

Отсюда можем выразить $x^4$ и $y^4$:

$x^4 = 8 - x^2y^2 - y^4$ $y^4 = 8 - x^2y^2 - x^4$

Подставим это в полученное уравнение выше:

$x^4 + 2x^3y + 3x^2y^2 + 2xy^3 + y^4 = 16$

Подставляем значения $x^4$ и $y^4$:

$8 - x^2y^2 - y^4 + 2x^3y + 3x^2y^2 + 2xy^3 + 8 - x^2y^2 - x^4 = 16$

Упрощаем:

$16 + 2x^3y + 3x^2y^2 + 2xy^3 = 16$

Отсюда видно, что $2x^3y + 3x^2y^2 + 2xy^3 = 0$.

Теперь мы можем выразить $x^3y^3$ через $x^2y^2$:

$x^3y^3 = -\frac{3}{2}x^2y^2$

Таким образом, мы получили:

$x^6 + x^3y^3 + y^6 = x^6 - \frac{3}{2}x^2y^2 + y^6$

Мы знаем, что $x^2 + xy + y^2 = 4$