Question

Стороны выпуклого четырехугольника MNKL равны MN = a, NK = b, KL = c, ML = d. Найдите площадь четырехугольника MNKL, если известно, что существуют такие точки А и В, где A принадлежит МL, B принадлежит NK, что вокруг четырехугольников MNBA и KLBA можно описать окружности

Answer 1

Ответ: Формула на рисунке

Объяснение:

Из условия того, что вокруг  четырехугольников MNBA и KLBA можно описать окружности имеем (cмотрите рисунок)

∠1+∠2 = 180°

∠3 +∠4 =180°

Сложим эти два равенства :

∠1 +∠4 +∠2 +∠3 =360°

∠2+∠3 = 180° → ∠1 +∠4 = 180° → ∠5 =∠1 → MN║LK → MNKL - трапеция с основаниями a и c.

Проведем MG║NK, тогда MGKN - параллелограмм.

MN=GK=a → LG= c-a

MG=NK=b

Обозначим площадь ΔLMG как S ( она может быть рассчитана по формуле Герона)

Тогда высота трапеции:

h=2S/(c-a) →  SMGKN = 2S*a/(c-a)

Тогда площадь трапеции:

Sтр = S + 2S*a/(c-a) = (1 + 2a/(c-a) )*S = S*(c+a)/(c-a)

Формула площади с учетом формулы Герона показана на рисунке.

Answer 2

Для нахождения площади четырехугольника MNKL, нам нужно воспользоваться тем, что окружности описаны вокруг четырехугольников MNBA и KLBA. Это означает, что углы между противоположными сторонами четырехугольников равны 90 градусов (поскольку угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда равен 90 градусов).

Исходя из этой информации, мы можем разделить четырехугольник MNKL на два прямоугольника: MNLK и MNBA (поскольку угол B и угол L опираются на одну и ту же сторону NK).

Площадь прямоугольника MNLK равна произведению его сторон MN и KL: S_MNLK = MN * KL = a * c

Площадь прямоугольника MNBA равна произведению его сторон MN и BA: S_MNBA = MN * BA = a * (d - b)

Теперь мы можем найти общую площадь четырехугольника MNKL, сложив площади MNLK и MNBA: S_MNKL = S_MNLK + S_MNBA = a * c + a * (d - b)

Таким образом, площадь четырехугольника MNKL равна: S_MNKL = a * (c + d - b)

Это и есть итоговая площадь четырехугольника MNKL.