Question

1)Бригада пильщиков распилила 15 бревен на куски без отходов (опилки в расчет не принимаем). Каждое бревно имело длину 10 или 12 метров, а каждый получившийся кусок – 3 или 4 метра. В результате трехметровых и четырехметровых кусков оказалось поровну. Сколько именно?__________________________________________________________2)Имеетсяследующеемногозначноечисло (одинаковымбуквамсоответствуют одинаковые цифры, а разным - разные):КОНКУРС ЭВРИКАМожет ли данноечисло быть простым, если известно, что число.ОКОРОКделится на 111?________________________________________3)Параллелограмм двумя пересекающимися прямыми разделили на 4 четырехугольника. Известно, что вокруг одного из них можно описать окружность. Докажите, что вокруг каждого из оставшихся четырехугольников также можно описать окружность.

Answer 1

1) Пусть х - искомое число 3 (4) метровых кусков.

Тогда общая длина распиленных бревен: 3х + 4х = 7х

Пусть а - число 10 метровых бревен. Тогда (15-а) - число 12 метровых бревен.

Тогда общая длина бревен:

10а + 12(15-а) = 7х.    Или:

180 - 2а = 7х

Так как 0<a<15, левая часть (а значит и 7х) принадлежит области (150; 180)

Осталось найти четное число, которое делится на 7 из указанного промежутка.  Их два: 154  и  168. Им соответствуют и два значения х.

7х = 154   х = 22

7х = 168   х = 24

Ответ: по 22;  по 24.

2) Проанализируем число ОКОРОК. Раз оно делится на 111, значит и делится на 3. То есть и сумма цифр делится на 3.

3*О + 2*К + Р  - делится на 3. Значит и (2*К + Р) - делится на 3.

Теперь рассмотрим данное многозначное число. Видим, что в нем присутствуют все цифры от 0 до 9(буквы разные) и еще вдобавок два раза повторяется цифра К и один раз Р.

Сумма всех цифр нашего числа:

(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9) + (2К+Р) = 45 + (2К+Р)

Видим, что сумма цифр делится на3. Значит это число не может быть простым.

3) Там нужен чертеж, а вложения не идут...Попробуй разобраться самостоятельно. Это самая простая задача из трех. Просто помни, что во вписанном 4-ке сумма противоположных углов равна 180 гр. А в параллелограмме сумма внутренних односторонних углов равна 180 гр. И от одного(заведомо вписанного) переходищь к любому из соседних 4-ков и доказываешь, что и в нем сумма противоп. углов равна 180 гр....

Если все-таки нужна помощь, пришли свой эл. адрес, я туда вышлю фотку с рисунком и решением..

Answer 2

1) Бригада пильщиков распилила 15 бревен на куски без отходов (опилки в расчет не принимаем). Каждое бревно имело длину 10 или 12 метров, а каждый получившийся кусок – 3 или 4 метра. В результате трехметровых и четырехметровых кусков оказалось поровну. Сколько именно?

Для решения этой задачи, мы можем использовать систему уравнений. Пусть x - количество трехметровых кусков, а y - количество четырехметровых кусков.

Из условия задачи, мы знаем, что бригада распилила 15 бревен на куски без отходов. То есть, количество бревен равно количеству кусков:

x + y = 15 ---(1)

Также, мы знаем, что каждое бревно имело длину 10 или 12 метров, а каждый получившийся кусок - 3 или 4 метра. Это означает, что сумма длин всех кусков равна сумме длин всех бревен:

3x + 4y = 10 * 15 ---(2)

Решим эту систему уравнений методом подстановки или методом сложения/вычитания.

Используя метод подстановки, мы можем решить уравнение (1) относительно x и подставить его в уравнение (2):

x = 15 - y

3(15 - y) + 4y = 150

45 - 3y + 4y = 150

y = 150 - 45

y = 105

Таким образом, получаем, что количество четырехметровых кусков равно 105.

Для определения количества трехметровых кусков, мы можем подставить значение y в уравнение (1):

x + 105 = 15

x = 15 - 105

x = -90

Однако, так как мы ищем количество кусков, которое не может быть отрицательным, мы можем сделать вывод, что в данной задаче нет решения.

Ответ: В данной задаче количество трехметровых кусков равно 0, а количество четырехметровых кусков равно 105.

2) Имеется следующее многозначное число (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным - разные): КОНКУРС. Может ли данное число быть простым, если известно, что число ОКОРОК делится на 111?

Для решения этой задачи, мы можем использовать информацию о делении числа ОКОРОК на 111. Если число ОКОРОК делится на 111, то сумма его цифр также должна делиться на 111.

Разложим число ОКОРОК на сумму его цифр:

О + К + О + Р + О + К

Так как каждой букве соответствует одинаковая цифра, мы можем заменить буквы на цифры:

О + К + О + Р + О + К = a + b + a + c + a + b

Теперь, если сумма цифр a + b + a + c + a + b делится на 111, то и число ОКОРОК делится на 111.

Однако, нам неизвестны значения цифр a, b и c, поэтому мы не можем точно сказать, делится ли данное число на 111.

Ответ: Мы не можем определить, может ли данное число быть простым, исходя из информации о делении числа ОКОРОК на 111.

3) Параллелограмм двумя пересекающимися прямыми разделили на 4 четырехугольника. Известно, что вокруг одного из них можно описать окружность. Докажите, что вокруг каждого из оставшихся четырехугольников также можно описать окружность.

Для доказательства этого утверждения, мы можем использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что противоположные углы параллелограмма равны.

Пусть ABCD - исходный параллелограмм, где AB и CD - параллельные стороны, а AD и BC - также параллельные стороны.

Пусть PQR и XYZ - четырехугольники, полученные пересечением прямых AC и BD.

Так как ABCD - параллелограмм, то угол B = угол D и угол A = угол C.

Также, так как PQR и XYZ - четырехугольники, полученные пересечением прямых AC и BD, то угол P = угол R и угол Q = угол X.

Теперь рассмотрим четырехугольник PQR. У нас есть следующие равенства углов:

угол P = угол R (из свойства четырехугольника PQR)

угол B = угол D (из свойства параллелограмма ABCD)

Так как угол P = угол R и угол B = угол D, то угол P = угол B.

Аналогично, рассмотрим четырехугольник XYZ. У нас есть следующие равенства углов:

угол Q = угол X (из свойства четырехугольника XYZ)

угол A = угол C (из свойства параллелограмма ABCD)

Так как угол Q = угол X и угол A = угол C, то угол Q = угол A.

Таким образом, мы доказали, что вокруг каждого из оставшихся четырехугольников (PQR и XYZ) также можно описать окружность, так как у них равны углы.

Ответ: Вокруг каждого из оставшихся четырехугольников также можно описать окружность.