Question

Решите уравнение (кубическое ) x³+x²-1=0

Answer 1

Сделаем замену: $x=u-\frac{1}{3}$. Подставим: $u^3-u^2+\frac{u}{3} -\frac{1}{27} +u^2-\frac{2}{3}u+\frac{1}{9}-1=u^3-\frac{u}{3}-\frac{25}{27}=0\Leftrightarrow (3u)^3-3(3u)-25=0$, после замены $w=3u$ имеем: $w^3-3w-25=0$.

Пусть $w=a+b$, где $a=m,\; b=\frac{1}{m}$, здесь сразу заметим, что $ab=1$.

Подставляем: $(m+\frac{1}{m})^3-3(m+\frac{1}{m})-25=0 \Leftrightarrow m^3+\frac{1}{m^3}+3m+\frac{3}{m} -3m-\frac{3}{m}-25=0$. Далее: $m^3+\frac{1}{m^3}-25=0 \Leftrightarrow m^6-25m^3+1=0$, сделаем очередную замену: $m^3=t$, получим: $t^2-25t+1=0$, откуда $t=\frac{25\pm 3\sqrt{69}}{2}$. Понятно, что $x=\frac{m+\frac{1}{m}-1 }{3}$

Дальше распутываем клубок замен: $m=\sqrt[3]{\frac{23\pm 5\sqrt{21}}{2}}$ (сразу заметим, что отрицательный корень не подходит. Это можно обнаружить, исследуя функцию). Итого: $x=\frac{\sqrt[3]{\frac{25+3\sqrt{69}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{2}{25+3\sqrt{69}} }-1 }{3}$.

Answer 2

Решение кубического уравнения x³ + x² - 1 = 0 может быть найдено с использованием различных методов. Один из них - метод Ньютона (итерационный метод).

Давайте начнем с выбора начального приближения для корня уравнения. В данном случае можно взять, например, x₀ = 0.5.

Затем мы будем использовать итерационную формулу метода Ньютона для нахождения корня:

xᵢ₊₁ = xᵢ - f(xᵢ) / f'(xᵢ),

где f(x) = x³ + x² - 1, а f'(x) - это производная f(x).

Производная f(x) равна: f'(x) = 3x² + 2x.

Теперь мы можем начать итерации:

1. x₀ = 0.5,
2. x₁ = x₀ - (x₀³ + x₀² - 1) / (3x₀² + 2x₀),
3. x₂ = x₁ - (x₁³ + x₁² - 1) / (3x₁² + 2x₁),
4. Продолжаем итерации до достижения достаточной точности.

Продолжим выполнение итераций:

1. x₀ = 0.5,
2. x₁ = 0.5 - (0.5³ + 0.5² - 1) / (3 * 0.5² + 2 * 0.5) ≈ 0.5 - (0.625 - 0.25) / (0.75 + 1) ≈ 0.5 - (0.375 / 1.75) ≈ 0.5 - 0.214 ≈ 0.286,
3. x₂ = 0.286 - (0.286³ + 0.286² - 1) / (3 * 0.286² + 2 * 0.286) ≈ 0.286 - (0.0243 + 0.0821 - 1) / (0.2598 + 0.572) ≈ 0.286 - (0.0578 / 0.8318) ≈ 0.286 - 0.0695 ≈ 0.216.

Таким образом, приближенное значение корня уравнения x³ + x² - 1 = 0 равно x ≈ 0.216.