Question

Три шара радиуса R касаются друг друга и плоскости α, четвертый шар радиуса R положен сверху так, что касается каждого из трех данных шаров. Определите высоту «горки» из четырех шаров.

Answer 1

Пусть четыре шара радиуса R c центрами A, B, C, D касаются друг друга и первые три из них – плоскости a в точках A1, B1, C1 (смотри прилагаемый рисунок).

Тогда точки A, B, C, D являются вершинами правильной пирамиды с ребром 2R. Вершина D этой пирамиды проектируется в центр основания О.

Находим АО = (2/3)h = (2/3)*(2R√3/2) = 2R√3/3.

OD = √((2R)² - OD²) = √(4R² - (12R²/9)) = √(8R²/3) = 2R√(2/3).

Осталось прибавить по радиусу выше точки D и ниже плоскости АВС.

H = 2R√(2/3) + 2R = 2R((√(2/3)) + 1).

Answer 2

Чтобы определить высоту "горки" из четырех шаров, нам нужно найти расстояние от центра четвертого шара до плоскости α.

Представим данную конфигурацию в трехмерном пространстве. Пусть центры трех первых шаров образуют равносторонний треугольник на плоскости α. Давайте обозначим центры этих трех шаров как A, B и C. Центр четвертого шара обозначим как D.

Так как все шары касаются друг друга, расстояние между центрами соседних шаров будет равно 2R (диаметр шара).

Расстояние от центра третьего шара (C) до плоскости α будет равно радиусу R. Поскольку все шары касаются плоскости α, этот радиус будет перпендикулярен плоскости α. Пусть точка пересечения этого радиуса с плоскостью α обозначается как P.

Теперь, чтобы найти высоту "горки", нам нужно найти расстояние от точки P до центра четвертого шара (D). Это расстояние будет равно радиусу R.

Таким образом, высота "горки" из четырех шаров равна R.