Question

Решить уравнение 2(log₂ х)²-3log₂ (x/4)-11=0

Answer 1

Ответ:

$2(log_2x)^2-3\, log_2\dfrac{x}{4}-11=0\ \ ,\ \ ODZ:\ x>0\\\\ 2(log_2x)^2-3(log_2x-log_24)-11=0\\\\2(log_2x)^2-3log_2x+6-11=0\\\\t=log_2x\ ,\ \ \ \ 2t^2-3t-5=0\ \ ,\ \ D=9+40=49\ \ ,\ t_1=-1\ ,\ t_2=\dfrac{5}{2}\\\\log_2x=-1\ \ \to \ \ x=2^{-1}=\dfrac{1}{2}\\\\log_2x=\dfrac{5}{2}\ \ ,\ \ x=2^{5/2}=\sqrt{2^5}=4\sqrt2\\\\Otvet:\ \ x_1=\dfrac{1}{2}\ ,\ x_2=4\sqrt2\ .$

Answer 2

Ответ:

Объяснение: (во вложении)

Answer 3

Для решения данного уравнения воспользуемся заменой переменной. Обозначим log₂ x как t. Тогда уравнение примет вид:

2t² - 3log₂ (x/4) - 11 = 0.

Заметим, что log₂ (x/4) можно записать в виде t - 2:

2t² - 3(t - 2) - 11 = 0.

Раскроем скобки:

2t² - 3t + 6 - 11 = 0,

2t² - 3t - 5 = 0.

Теперь решим получившееся квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта D = b² - 4ac:

D = (-3)² - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49.

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два действительных корня. Используем формулу корней квадратного уравнения:

t₁,₂ = (-b ± √D) / (2a).

t₁ = (-(-3) + √49) / (2 * 2) = (3 + 7) / 4 = 10 / 4 = 2.5.

t₂ = (-(-3) - √49) / (2 * 2) = (3 - 7) / 4 = -4 / 4 = -1.

Таким образом, получаем два значения для t: t₁ = 2.5 и t₂ = -1.

Вернемся к исходной замене переменной:

t = log₂ x.

Теперь решим два уравнения:

1. log₂ x = 2.5:

Перепишем это уравнение в экспоненциальной форме:

x = 2^(2.5).

Вычисляем значение:

x = 2^2.5 = 2 * √(2) ≈ 5.66.

2. log₂ x = -1:

Перепишем это уравнение в экспоненциальной форме:

x = 2^(-1).

Вычисляем значение:

x = 1/2 = 0.5.

Таким образом, уравнение 2(log₂ х)² - 3log₂ (x/4) - 11 = 0 имеет два решения: x₁ ≈ 5.66 и x₂ = 0.5.