Question

6)  При каких значениях параметра а неравенство ах^2+2ах+4>0 выполняется на всей числовой оси? Заранее спасибо !

Answer 1

..................................

Answer 2

ax²+2ax+4 > 0

D/4 = (b/2)²-ac = a²-4a < 0

При D/4 < 0 параболла не имеет пересечения с осью OX, а чтобы квадратный многочлен был строго положительный, нужно потребовать:

a > 0(ветви параболлы вверх)

Система:

{a²-4a < 0

{a > 0

1)a(a-4) < 0

+. -. +

-----(0)----(4)------

a€(0; 4)

Второе условие при этом автоматически выполняется

Ответ: При a€(0; 4)

Answer 3

Для того чтобы неравенство $ax^2 + 2ax + 4 > 0$ выполнялось на всей числовой оси, дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + 2ax + 4$ должен быть отрицательным (чтобы парабола не пересекала ось $x$).

Дискриминант $D$ для квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ равен $D = b^2 - 4ac$. В данном случае $a = a$, $b = 2a$, $c = 4$, поэтому:

$D = (2a)^2 - 4a \cdot 4 = 4a^2 - 16a.$

Чтобы дискриминант был отрицательным ($D < 0$), выполним неравенство:

$4a^2 - 16a < 0.$

Далее, можно разделить неравенство на положительное число ($4$) без изменения направления неравенства:

$a^2 - 4a < 0.$

Факторизуем левую сторону неравенства:

$a(a - 4) < 0.$

Это неравенство будет выполняться, если один из следующих случаев верен:

1. $a < 0$ и $a - 4 > 0$, что эквивалентно $a < 0$ и $a > 4$. Но это невозможно, так как нет числа, которое было бы одновременно меньше нуля и больше четырёх.

2. $a > 0$ и $a - 4 < 0$, что эквивалентно $a > 0$ и $a < 4$. Этот случай подходит.

Итак, для того чтобы неравенство $ax^2 + 2ax + 4 > 0$ выполнялось на всей числовой оси, параметр $a$ должен удовлетворять условию $0 < a < 4$.