Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО!!!! Даны четыре точки: А (0; 1; -1), В (1; -1; 2), C(3; 1; 0), D (2; -3; 1).2. Найдите синус угла между прямой AB и плоскостью BCD.​

Answer 1

$A(0,1,-1)\ \ ,\ \ B(1,-1,2)\ \ ,\ \ C(3,1,0)\ \ ,\ \ D(2,-3,1)\\\\\alpha =(\, \widehat {AB\, ;\, BCD}\ )\\\\\Big[\, \overline {BC}\times \overline {BD}\, \Big]=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&2&-2\\1&-2&-1\end{array}\right|=\vec{i}\cdot (-2-4)-\vec{j}\cdot (-2+2)+\vec{k}\cdot (-4-2)=\\\\\\=-6\vec{i}-0\vec{j}-6\vec{k}\\\\\vec{n}=-\dfrac{1}{6}\cdot \Big[\, \overline {BC}\times \overline {BD}\, \Big]=(1\, ;\, 0\, ;\, 1)\\\\\vec{s}=\overline {AB}=(1,-2,3)$

$\sin\alpha =\dfrac{|(\vec{n}\cdot \vec{s})|}{|\vec{n}|\cdot |\vec{s}|}=\dfrac{|1+0+3|}{\sqrt{1+1}\cdot \sqrt{1+4+9}}=\dfrac{4}{\sqrt2\cdot \sqrt{14}}=\dfrac{2}{\sqrt7}$

Answer 2

Для того чтобы найти синус угла между прямой AB и плоскостью BCD, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите направляющий вектор прямой AB: Направляющий вектор AB = В - А = (1; -1; 2) - (0; 1; -1) = (1; -2; 3).

2. Найдите нормальный вектор плоскости BCD: Нормальный вектор плоскости BCD = (векторное произведение векторов BC и BD). Вектор BC = C - B = (3; 1; 0) - (1; -1; 2) = (2; 2; -2). Вектор BD = D - B = (2; -3; 1) - (1; -1; 2) = (1; -2; -1). Теперь найдем векторное произведение BC и BD:

   BC x BD = | i j k | | 2 2 -2 | | 1 -2 -1 |

   BC x BD = (2 * (-1) - (-2) * (-2); - (2 * 1 - (-2) * (-1)); 2 * (-2) - 2 * 1) = (-2 - 4; - (2 + 2); -4 - 2) = (-6; -4; -6).

3. Найдите синус угла между векторами AB и BC x BD: Синус угла между векторами можно найти с помощью формулы:

   синус угла = |AB x (BC x BD)| / (|AB| * |BC x BD|),

   где |AB x (BC x BD)| - модуль смешанного произведения векторов AB и BC x BD, |AB| - длина вектора AB, |BC x BD| - длина вектора BC x BD.

   Модуль смешанного произведения AB и BC x BD: |AB x (BC x BD)| = |AB| * |BC x BD| * sin(угол). Следовательно, синус угла равен:

   синус угла = |BC x BD| / |AB x (BC x BD)|.

Подставив найденные значения:

|BC x BD| = √((-6)^2 + (-4)^2 + (-6)^2) = √(36 + 16 + 36) = √88, |AB x (BC x BD)| = |AB| * |BC x BD| * sin(угол) = √(1^2 + (-2)^2 + 3^2) * √88 * sin(угол) = √14 * √88 * sin(угол) = √1232 * sin(угол).

Теперь синус угла между прямой AB и плоскостью BCD равен:

синус угла = |BC x BD| / |AB x (BC x BD)| = √88 / (√1232 * sin(угол)).

Для того чтобы найти значение синуса угла, необходимо знать угол между векторами AB и BC x BD. Если вам известен угол или способ его определения, вы можете использовать эту информацию в формуле. В противном случае, без значения угла невозможно точно определить синус угла.