Question

Вычислить интеграл: R⁰|¹(4x + 5 )/(x ²+ 3x + 2 )dx​

Answer 1

$\int\limits^1_0 {\frac{4x+5}{x^2+3x+2} } \, dx =$

выделяем полный квадрат:

$x^2+3x+2=x^2+2\cdot x \cdot \frac{3}{2} +(\frac{3}{2})^2 -(\frac{3}{2})^2 +2=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}$

$\int\limits^1_0 {\frac{4x+5}{(x+\frac{3}{2}) ^2+\frac{1}{4} } } \, dx =$

замена переменной:

$x+\frac{3}{2} =t$

$x=t-\frac{3}{2}$

$dx=dx$

$x=0$   ⇒     $t=\frac{3}{2}$

$x=1$   ⇒     $t=\frac{5}{2}$

$\int\limits^1_0 {\frac{4x+5}{(x+\frac{3}{2}) ^2-\frac{1}{4} } } \, dx =\int\limits^{\frac{5}{2} }_{\frac{3}{2} } {\frac{4\cdot (t-\frac{3}{2})+5 }{t^2-\frac{1}{4} } } \, dt =\int\limits^{\frac{5}{2} }_{\frac{3}{2} } {\frac{4t-1 }{t^2-\frac{1}{4} } } \, dt =\int\limits^{\frac{5}{2} }_{\frac{3}{2} } {\frac{4t}{t^2-\frac{1}{4} } } \, dt -\int\limits^{\frac{5}{2} }_{\frac{3}{2}} {\frac{1}{t^2-\frac{1}{4} } } \, dt =$

формулы   $\int {\frac{du}{u} } \,=ln|u|$      и      $\int {\frac{du}{u^2-a^2} } \,=\frac{1}{2a} ln|\frac{u-a}{u+a} |$

$=2ln|t-\frac{1}{4}| ^{\frac{5}{2} }_{\frac{3}{2} } -\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2} }(ln|\frac{t-\frac{1}{2} }{t+\frac{1}{2} } |) ^{\frac{5}{2} }_{\frac{3}{2}}=$

$=2ln|\frac{25}{4}-\frac{1}{4}|-2ln|\frac{9}{4}-\frac{1}{4}| -\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2} } ln |\frac{\frac{5}{2}-\frac{1}{2} }{\frac{5}{2}+\frac{1}{2} }|+\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2} } ln |\frac{\frac{3}{2}-\frac{1}{2} }{\frac{3}{2}+\frac{1}{2} }|=2ln6-2ln2-ln\frac{2}{6} +ln\frac{1}{2}=\\\\=2ln3+ln\frac{3}{4}=2ln3+ln3-ln4=3ln3-2ln2$

Answer 2

Вычислить интеграл $\displaystyle \int^{1}_{0}{\frac{4x+5}{x^{2} + 3x + 2} }\, dx$

Answer 3

Для вычисления данного интеграла, сначала нужно разложить дробь на простые слагаемые, а затем интегрировать каждое из них. В данном случае, дробь можно разложить следующим образом:

$\frac{4x + 5}{x^2 + 3x + 2} = \frac{4x + 5}{(x + 1)(x + 2)}$

Далее, проведем разложение на простые дроби:

$\frac{4x + 5}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

Найдем значения $A$ и $B$, умножив обе стороны уравнения на общий знаменатель:

$4x + 5 = A(x + 2) + B(x + 1)$

Подставим $x = -1$ для нахождения $A$:

$4(-1) + 5 = A(-1 + 2) + B(-1 + 1)$

$-4 + 5 = A$

$A = 1$

Подставим $x = -2$ для нахождения $B$:

$4(-2) + 5 = A(-2 + 2) + B(-2 + 1)$

$-8 + 5 = B(-1)$

$-3 = -B$

$B = 3$

Теперь можем записать разложение:

$\frac{4x + 5}{x^2 + 3x + 2} = \frac{1}{x + 1} + \frac{3}{x + 2}$

Интегрируем каждую из простых дробей:

$\int \frac{1}{x + 1} \, dx = \ln |x + 1| + C_1$

$\int \frac{3}{x + 2} \, dx = 3 \ln |x + 2| + C_2$

Где $C_1$ и $C_2$ - константы интегрирования.

Таким образом, интеграл исходной функции будет:

$\int \frac{4x + 5}{x^2 + 3x + 2} \, dx = \ln |x + 1| + 3 \ln |x + 2| + C$

Где $C = C_1 + C_2$ - итоговая константа интегрирования.