Question

Пусть f(x) = l a - 4 | х² + 4х + а - 5. Найдите, при каких значениях параметра а уравнение f(x) = 0 имеет ровно различных 2 решения, причем каждое из этих решений не превосходит единицы.​

Answer 1

Пусть $x_{1},\; x_{2}$ — решения уравнения $f(x)=0$. По условию $\left \{ {{x_{1}-1\leq 0 } \atop {x_{2}-1\leq 0 }} \right.$. Можно сделать замену: $x-1=u \Leftrightarrow x=u+1$ и рассмотреть функцию $f(u+1)$. Переформулируем условие: найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $f(u+1)=0$ имеет два различных неположительных решения.

$f(u+1)=|a-4|(u+1)^2+4(u+1)+a-5$, после преобразований получим $f(u+1)=|a-4|u^2+u(2|a-4|+4)+|a-4|+a-1$. Необходимым и достаточным условием неположительности решений явлется неположительность суммы и неотрицательность произведения корней. Применяя теорему Виета, переходим к системе: $\left \{ {{-\frac{2|a-4|+4}{|a-4|}\leq 0 } \atop {\frac{|a-4|+a-1}{|a-4|}\geq 0 }} \right.$. Сразу заметим, что $a=4$ не подходит, так как дает уравнение с не более чем одним решением. Система эквивалентна следующей: $\left \{ {{2|a-4|+4\geq 0 } \atop {|a-4|+a-1\geq 0 }} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a\in\mathbb{R}} \atop {a\in\mathbb{R}}} \right. \Leftrightarrow a\in\mathbb{R}$ (1)

Теперь нужно наличие двух различных решений. Здесь удобно вернутся к изначальному уравнению (так как мы просто двигали параболу горизонтально). $\Delta=16-4|a-4|(a-5)>0 \Rightarrow |a-4|(a-5)$, это неравенство эквивалентно системе: $\left \{ {{(a-4)(a-5)4} } \right.\;\textbf{or}\; \left \{ {{(a-4)(a-5)>-4} \atop {a$ (2).

Пересекая (1) с (2) получим ответ.

Ответ: $a\in(-\infty,\; 4)\cup(4,\; \frac{9+\sqrt{17}}{2})$

Answer 2

Уравнение f(x) = 0 имеет два различных решения, если и только если график функции f(x) пересекает ось x в двух различных точках. То есть, нам нужно найти значения параметра "а", при которых график функции f(x) пересекает ось x дважды и оба этих пересечения находятся в пределах (-∞, 1].

Перепишем уравнение f(x) = 0:

f(x) = a - 4|x² + 4x + a - 5| = 0

Разберемся с модулем:

1. Если x² + 4x + a - 5 ≥ 0, то |x² + 4x + a - 5| = x² + 4x + a - 5.
2. Если x² + 4x + a - 5 < 0, то |x² + 4x + a - 5| = -(x² + 4x + a - 5) = -x² - 4x - a + 5.

Теперь у нас есть два случая для уравнения f(x) = 0:

1. a - 4(x² + 4x + a - 5) = 0
2. a - 4(-x² - 4x - a + 5) = 0

Раскроем скобки:

1. a - 4x² - 16x - 4a + 20 = 0
2. a + 4x² + 16x + 4a - 20 = 0

Упростим уравнения:

1. -4x² - 16x + 16a - 20 = 0
2. 4x² + 16x + 4a - 20 = 0

Теперь нам нужно найти значения параметра "а", при которых каждое из этих уравнений имеет два различных решения, не превосходящих 1.

Для каждого из уравнений рассмотрим дискриминант:

1. Для -4x² - 16x + 16a - 20: D = 256 - 4(-4)(16a - 20) = 256 + 64(16a - 20) = 64(16a - 20 + 4) = 64(16a - 16)
2. Для 4x² + 16x + 4a - 20: D = 256 - 4(4)(4a - 20) = 256 - 64(4a - 20) = 256 - 256(4a - 5) = 256(1 - 4a + 5) = 256(6 - 4a)

Для обоих случаев, чтобы дискриминант был положительным (гарантия наличия двух различных решений), нужно:

1. 16a - 16 > 0 => a > 1
2. 6 - 4a > 0 => a < 3/2

Итак, условия для параметра "а" таковы:

1 < a < 3/2

Подытожим: значения параметра "а" должны лежать в интервале (1, 3/2), чтобы уравнение f(x) = 0 имело ровно два различных решения, каждое из которых не превосходит 1.