Question

Доведите тождество 1 +tg альфа/1 + ctg альфа = tg альфа

Answer 1

$\frac{1+tg\alpha }{1+ctg\alpha } =\frac{1+tg\alpha}{1+\frac{1}{tg\alpha} } =\frac{1+tg\alpha}{\frac{tg\alpha+1}{tg\alpha} } =(1+tg\alpha)*\frac{tg\alpha}{1+tg\alpha}=tg\alpha$

Answer 2

Ответ:

.............................................

Answer 3

Для доказательства данного тождества начнем с левой стороны:

1 + tg(α) / 1 + ctg(α)

Сначала преобразуем ctg(α) в вид tg(π/2 - α):

1 + tg(α) / 1 + tg(π/2 - α)

Теперь используем формулу тангенса суммы углов:

tg(π/2 - α) = 1 / tg(α)

Подставим это значение обратно в выражение:

1 + tg(α) / 1 + 1 / tg(α)

Общий знаменатель получится таким образом:

tg(α) * tg(α) + 1

Сокращаем дробь:

(tg^2(α) + 1) / tg(α)

Используем известное тождество для тангенса:

tg^2(α) + 1 = sec^2(α)

Подставляем это обратно в выражение:

sec^2(α) / tg(α)

sec(α) = 1 / cos(α), таким образом:

1 / cos^2(α) / tg(α)

Используем тождество для тангенса и синуса:

tg(α) = sin(α) / cos(α)

Подставляем:

1 / cos^2(α) / (sin(α) / cos(α))

Можем сократить cos(α) в числителе и знаменателе:

1 / sin(α)

Что равно tg(α), что и требовалось доказать. Таким образом, тождество верно:

1 + tg(α) / 1 + ctg(α) = tg(α)