Question

60 баллов!!! срочно Визначте найбільше значення функціїy = 8tgx-8х +π-6 на проміжкуна проміжку [-π/4;0]​

Answer 1

Ответ:

$\pi - 6$

Объяснение:

$y = 8 \mathrm{tg} \, x - 8x + \pi - 6$

$y' = \dfrac{8}{\cos^2 x} - 8$

$\cos^2 x \leqslant 1 \Rightarrow y' \geqslant 0 \Rightarrow y_{\max} = y(0) = \pi - 6$

Answer 2

Щоб знайти найбільше значення функції $y = 8 \tan(x) - 8x + \pi - 6$ на проміжку $\left[-\frac{\pi}{4}, 0\right]$, спершу давайте знайдемо похідну цієї функції і знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю або не існує (екстремуми). Потім перевіримо значення функції у цих точках та на кінцях відрізка, щоб знайти найбільше значення.

Похідна функції $y = 8 \tan(x) - 8x + \pi - 6$ має вигляд: $y' = 8 \sec^2(x) - 8.$

Для знаходження екстремумів зрівнюємо похідну з нулем: $8 \sec^2(x) - 8 = 0.$

Розділимо обидві сторони на 8: $\sec^2(x) - 1 = 0.$

Застосуємо тотожність $\sec^2(x) = \tan^2(x) + 1$: $\tan^2(x) + 1 - 1 = 0,$ $\tan^2(x) = 0.$

Звідси отримуємо $\tan(x) = 0$, а це відоме значення на відрізку $\left[-\frac{\pi}{4}, 0\right]$ при $x = 0$.

Тепер підставимо значення $x = 0$ у вихідну функцію: $y(0) = 8 \tan(0) - 8 \cdot 0 + \pi - 6 = 0 + \pi - 6 = \pi - 6.$

Далі, перевіримо значення функції на кінцях відрізка $x = -\frac{\pi}{4}$: $y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 8 \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 8 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi - 6.$

Використовуючи значення $\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$, маємо: $y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 8 \cdot (-1) + 2\pi + \pi - 6 = 3\pi - 2.$

Тепер порівняємо отримані значення: $\pi - 6$ та $3\pi - 2$. Максимальне значення з цих двох є $3\pi - 2$.

Отже, найбільше значення функції $y = 8 \tan(x) - 8x + \pi - 6$ на проміжку $\left[-\frac{\pi}{4}, 0\right]$ дорівнює $3\pi - 2$.