Question

Найти множество значений выражения (x+y) (3-4xy), если x^2+y^2=3

Answer 1

Ответ:  Множество значений: [-3*√6; 3*√6]

Пошаговое объяснение:

Поскольку :

x^2+y^2 = 3

То справедливо, что

x=√3 *cos(r) ; y =√3*sin(r)

Пусть : x+y = t

t= x+y = √3 *cos(r) + √3*sin(r)  = √6 * cos(r-pi/4)

-√6<=t<=√6

t^2= x^2+2*x*y+y^2

2*x*y = t^2 -3

-4*x*y = -2*t^2+6

(x+y)*(3-4*x*y) =  t *(-2*t^2+9) =  -2*t^3 +9*t

То есть необходимо найти область значений функции:

f(t) = 9*t -2t^3  при  t∈[-√6;√6] - функция нечетная :

f(-t) = -f(t)

Найдем экстремумы:

f'(t) = 9-6*t^2 = 0

t^2 = 9/6 =3/2

t=+-√(3/2) = +-√6/2 ( √6/2- т. максимума ; √6/2 - т. минимума)

f(+-√(3/2) ) = +-(9*√6/2 -2*6/4 *√6/2 ) = +-( √6*6/2 ) = +-3√6

f(+-√6) = +-(9*√6-2*6*√6) = -+3√6

Как видим, поскольку данная функция непрерывна, то область значения функции f(t)∈ [-3*√6; 3√6] → (x+y)*(3-4*x*y) ∈ [-3*√6; 3*√6]

Answer 2

Дано уравнение x^2 + y^2 = 3 и выражение (x + y)(3 - 4xy). Найдём множество значений выражения.

Для начала, давайте разложим выражение (x + y)(3 - 4xy):

(x + y)(3 - 4xy) = 3(x + y) - 4xy(x + y) = 3x + 3y - 4x^2y - 4xy^2

Теперь мы можем заменить x^2 + y^2 в выражении на 3, и получим:

3x + 3y - 4x^2y - 4xy^2 = 3x + 3y - 4xy(x^2 + y^2) = 3x + 3y - 12xy

Таким образом, множество значений выражения (x + y)(3 - 4xy) при условии x^2 + y^2 = 3 равно множеству значений выражения 3x + 3y - 12xy.