Question

в однокруговом турнире по волейболу каждая команда одержала сколько побед сколько все побежденные ей команды вместе взятые.Сколько могло играть команд в турнире? Три трубы наполняют бассейн за 6часов Втооая труба на 25% быстрее чем первая а третья на 10 часов медленее. За какое время кажлпя труба наполняет бассйен?

Answer 1

1) Рассмотрим команду (пусть это будет команда М), которая выиграла наименьшее количество встреч. Пусть это число равно $l$. Рассмотрим два случая:

1. $l>0$. Заметим, что количество побед этой команды равно количеству побежденных, а это число, в свою очередь, равно суммарному количеству побед побежденных. Очевидно, что каждый побежденный выиграл ровно 1 раз (если нет, то найдется хотя бы один побежденный с 0 побед, что противоречит минимальности). Значит, $l=1$. Побежденный командой М тоже имеет 1 победу и так далее. Получим, что каждый победил ровно 1 раз. Поскольку каждый матч заканчивается чьей-то победой, то всего побед столько же, сколько и матчей. Суммарное количество побед равно $n$ — числу участников (поскольку все победили 1 раз). Имеем:  $\frac{n(n-1)}{2}=n \Rightarrow n=3$.

2. $l=0$. Уберем команду М. Тогда количество побед каждой команды уменьшится на 1 (так как все победили команду М). Рассмотрим новую команду, имеющую наименьшее количество побед ($l'$). Если $l'>0$, то получим 3 команды + изъятая, то есть всего 4 команды. Если $l'=0$, то была команда с ровно одной победой. Продолжая рассуждения, получим, что была команда с хотя бы двумя победами, тремя и т.д. до $n-1$, то есть была команда, которая победила всех. Тогда $\frac{(n-1)(n-2)}{2}\leq n-1 \Rightarrow n\leq 4$. Значит, могло быть либо три, либо четыре команды.

2) Пусть первая труба наполняет бассейн за $t$ часов. Составим уравнение: $\frac{1}{t}+\frac{1}{0,75t} +\frac{1}{t+10}=\frac{1}{6}$, откуда $t=5+\sqrt{165}$, остальные ищутся легко.

Answer 2

Давайте рассмотрим первый вопрос:

В однокруговом турнире по волейболу каждая команда одержала столько побед, сколько все побежденные ей команды вместе взятые. Сколько могло играть команд в турнире?

Допустим, в турнире участвовало N команд. Тогда каждая команда сыграла против (N - 1) команды. По условию, количество побед каждой команды равно количеству побежденных ей команд вместе взятых. Если обозначить количество побед каждой команды как W, то общее количество побед в турнире будет равно W * N (так как каждая команда имеет W побед, и всего N команд).

Таким образом, у нас есть следующее уравнение: W * N = (N - 1) * W W * N = W * N - W W = 0

Это означает, что ни одна команда не победила. Однако это невозможно, так как должна быть хотя бы одна победившая команда. Следовательно, такой турнир не может иметь место.

По второму вопросу:

Три трубы наполняют бассейн за 6 часов. Вторая труба на 25% быстрее первой, а третья на 10 часов медленнее. За какое время каждая труба наполняет бассейн?

Пусть первая труба наполняет бассейн за X часов. Тогда вторая труба наполняет за (0.75X), так как она на 25% быстрее первой, а третья труба наполняет за (X + 10), так как она медленнее первой на 10 часов.

Суммируем скорости работы всех трех труб:

1/X + 1/(0.75X) + 1/(X + 10) = 1/6

Решая это уравнение, мы найдем значение X и соответственно время, за которое каждая труба наполняет бассейн.