Question

Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике размером 239х566? (Только можно без корней и т.д., так как я в 7 классе)

Answer 1

Рассмотрим вертикальные линии и горизонтальные. Каждую из них диагональ пересекает ровно один раз. При этом каждое пересечение вертикальной или горизонтальной линии соответствует пересечению двух (соседних) клеток. Посчитаем сумму вертикальных ($v$) и горизонтальных клеток ($h$): каждая клетка, которую пересекают (кроме двух крайних), считается дважды (она дважды участвует в паре), но также каждое пересечение считается дважды. Поэтому $\frac{2(v+h)+2}{2}=v+h+1$ есть количество пересеченных клеток (мы добавили двойку в числителе вот почему: 2(v+h) - это удвоенное количество средних клеток (т.е. не крайних), а крайние посчитаны только один раз. Добавляя 2, мы считаем и крайние два раза. Теперь все клетки посчитаны дважды — можем делить на 2)

Пусть дан прямоугольник $a\times b$, причем числа $a,b$ не имеют общих делителей (иначе какая-то клетка пересекалась бы по вершине — мы ее не считали). Тогда $v=a-1$, $h=b-1$. Получаем $a-1+b-1+1=a+b-1$ пересеченная клетка. Поскольку числа 239 и 566 не имеют общих делителей, к ним применима эта формула. Получаем, что диагональ пересекает 239+566-1=804 клетки

Answer 2

Чтобы найти количество клеток, которые пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике, можно воспользоваться следующим методом:

Диагональ клетчатого прямоугольника проходит через угол исходного прямоугольника, соединяя противоположные вершины. Она делит прямоугольник на два треугольника, каждый из которых можно рассматривать как набор полных клеток и частично пересекаемых клеток.

В данном случае, у вас есть прямоугольник размером 239x566, и его диагональ будет проходить через 239 клеток в одной из сторон и 566 клеток в другой стороне (так как диагональ делит прямоугольник на два треугольника).

Итак, количество клеток, которые пересекает диагональ, будет равно сумме количества клеток в обеих сторонах:

239 + 566 = 805

Таким образом, диагональ пересекает 805 клеток клетчатого прямоугольника размером 239x566.