Question

Решите уравнения sin2x=1 cosx*cos2x+sinx*sin2x=0 cos^2x=cos2x

Answer 1

1.

$\sin2x=1$

$2x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$

$x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n ,\ n\in\mathbb{Z}$

2.

$\cos x\cdot \cos2x+\sin x\cdot\sin2x=0$

$\cos( x-2x)=0$

$\cos( -x)=0$

$\cos x=0$

$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

3.

$\cos^2x=\cos2x$

$\cos^2x=\cos^2x-\sin^2x$

$-\sin^2x=0$

$\sin^2x=0$

$\sin x=0$

$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди.

1. sin^2(x) = 1: Это уравнение не имеет решений, так как квадрат синуса не может быть больше 1.

2. cos(x) * cos^2(x) + sin(x) * sin^2(x) = 0: Заметим, что sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Подставим это значение в уравнение: cos(x) * cos^2(x) + sin(x) * (1 - cos^2(x)) = 0. Раскроем скобки и упростим: cos(x) * cos^2(x) + sin(x) - sin(x) * cos^2(x) = 0. Факторизуем уравнение: cos(x) * (cos^2(x) - sin^2(x)) + sin(x) = 0. Используем тригонометрическое тождество cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x): cos(x) * cos(2x) + sin(x) = 0. Для дальнейших шагов нам нужно знать значение x. Если дан диапазон значений, в котором ищутся решения, мы можем перейти к решению этого уравнения численно или графически.

3. cos^2(x) = cos(2x): Рассмотрим это уравнение. Подставим значение cos(2x) с использованием тригонометрической формулы для удвоенного угла: cos^2(x) = 2cos^2(x) - 1. Переносим все в одну часть уравнения: 2cos^2(x) - cos^2(x) - 1 = 0, cos^2(x) - 1 = 0, (cos(x) - 1)(cos(x) + 1) = 0.

   Отсюда получаем два уравнения: cos(x) - 1 = 0 и cos(x) + 1 = 0. Решим их отдельно: a) cos(x) - 1 = 0: cos(x) = 1, x = 2πn, где n - целое число.

   b) cos(x) + 1 = 0: cos(x) = -1, x = (2n + 1)π, где n - целое число.

Итак, мы рассмотрели каждое из уравнений и нашли их решения. Обратите внимание, что второе уравнение требует более подробной информации о диапазоне значений x для конкретных решений.