Question

Упростить: (1 + tgA) (1 + ctgA) - 1 / sinAcosA Развернутое решение.

Answer 1

$(1 + \mathrm{tg}A) (1 + \mathrm{ctg}A) -\dfrac{1}{\sin A\cos A} =$

$=1 + \mathrm{tg}A+ \mathrm{ctg}A+\mathrm{tg}A\mathrm{ctg}A -\dfrac{1}{\sin A\cos A} =$

$=1 +\dfrac{\sin A}{\cos A} + \dfrac{\cos A}{\sin A}+1 -\dfrac{1}{\sin A\cos A} =2 +\dfrac{\sin^2A+\cos^2A-1}{\sin A\cos A} =$

$=2 +\dfrac{1-1}{\sin A\cos A} =2 +\dfrac{0}{\sin A\cos A} =2+0=2$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами и алгеброй:

(1 + tgA) (1 + ctgA) - 1 / sinAcosA

1. Раскроем скобки в первом члене: (1 + tgA) (1 + ctgA) = 1 + tgA + ctgA + tgA * ctgA = 1 + tgA + ctgA + 1/sinAcosA (используем тождество tgA * ctgA = 1 и выражаем 1/sinAcosA через tgA и ctgA)

2. Теперь заметим, что tgA + ctgA = sinA/cosA + cosA/sinA = (sin^2A + cos^2A)/(sinAcosA) = 1/(sinAcosA) Таким образом, tgA + ctgA = 1/(sinAcosA)

3. Подставим это в первый член: (1 + tgA) (1 + ctgA) = 1 + 1/(sinAcosA) + 1/sinAcosA = 2/(sinAcosA) + 1

4. Разделим второй член на sinAcosA: 1 / sinAcosA = 1 / sinA * 1 / cosA = cscA * secA

Таким образом, исходное выражение упрощается до: 2/(sinAcosA) + 1 - cscA * secA