Question

Решите уравнение 6 sin²(x) + 2 sin² (2x) = 5выразите sin²(x) через cos(2x)​

Answer 1

Используемые формулы:

$\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$

$\sin^22x=1-\cos^22x$

Решаем уравнение:

$6\sin^2x + 2\sin^22x = 5$

$6\cdot\dfrac{1-\cos2x}{2}+ 2\cdot(1-\cos^22x) = 5$

$3\cdot(1-\cos2x)+ 2\cdot(1-\cos^22x) = 5$

$3-3\cos2x+ 2-2\cos^22x - 5=0$

$-2\cos^22x -3\cos2x=0$

$-2\cos2x\left(\cos2x+\dfrac{3}{2}\right)=0$

$\left[\begin{array}{l} -2\cos2x=0\\ \cos2x+\dfrac{3}{2}=0\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} \cos2x=0\\ \cos2x=-\dfrac{3}{2}\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} 2x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \\ 2x\in \varnothing\end{array}$

$x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Уравнение $\cos2x=-\dfrac{3}{2}$ не имеет решений, так как косинус не принимает значений, меньше -1.

Ответ: $\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Дано уравнение:

6 sin²(x) + 2 sin²(2x) = 5.

Давайте выразим sin²(2x) через cos(2x) с помощью тригонометрической идентичности:

sin²(2x) = 1 - cos²(2x).

Теперь подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

6 sin²(x) + 2 (1 - cos²(2x)) = 5.

Раскроем скобки:

6 sin²(x) + 2 - 2 cos²(2x) = 5.

Переносим все члены на одну сторону:

6 sin²(x) - 2 cos²(2x) = 3.

Теперь воспользуемся тригонометрической идентичностью cos(2x) = 2cos²(x) - 1:

6 sin²(x) - 2 (2cos²(x) - 1) = 3.

Раскроем скобки:

6 sin²(x) - 4cos²(x) + 2 = 3.

Переносим все члены на одну сторону:

6 sin²(x) - 4cos²(x) - 1 = 0.

Теперь выразим sin²(x) через cos²(x):

sin²(x) = 1 - cos²(x).

Подставим это выражение в уравнение:

6 (1 - cos²(x)) - 4cos²(x) - 1 = 0.

Раскроем скобки и упростим:

6 - 6cos²(x) - 4cos²(x) - 1 = 0,

-10cos²(x) + 5 = 0.

Теперь поделим обе стороны на -10:

cos²(x) - 0.5 = 0.

cos²(x) = 0.5.

Так как мы выразили cos²(x) через cos(2x), то мы успешно свели исходное уравнение к уравнению для cos²(x). В дальнейшем вы можете взять квадратный корень из обеих сторон для нахождения cos(x), а затем использовать связь между sin(x) и cos(x), чтобы найти sin(x) и sin²(x).