Question

Помогите доказать тождество log3 10 + 4 lg3 > 4 пожалуйста

Answer 1

log(3) 10 > 0

lg 3 > 0

log(a) b = 1/ log(b) a

log3 10 + 4 lg3 > 4

1/ lg3 + 4 lg3 > 4

1/ lg3 + 4 lg3 - 4 > 0  | * lg 3

(1 + 4lg² 3 - 4lg 3)/lg 3 > 0

(1 - 2lg 3)²/lg 3 > 0

числитель квадрат > 0 ( 1 ≠ 2lg 3)

знаменатель > 0

доказано

Answer 2

Давайте рассмотрим данное неравенство и докажем его:

Имеем: log3(10) + 4 * lg3 > 4

Сначала перепишем логарифм с основанием 3 в виде логарифма с основанием 10, чтобы обе части неравенства были в одной системе логарифмов: log3(10) = log10(10) / log10(3)

Подставим это обратно в исходное неравенство: log10(10) / log10(3) + 4 * lg3 > 4

Теперь заметим, что lg3 = log10(3) / log10(10), так как это основание 10 логарифма, делённое на основание 10 логарифма числа 3.

Подставим значение lg3 в неравенство: log10(10) / log10(3) + 4 * (log10(3) / log10(10)) > 4

Упростим выражение: log10(10) / log10(3) + 4 * log10(3) / log10(10) > 4

Заметим, что log10(10) / log10(3) > 1, так как логарифм числа 10 по основанию 3 больше 1.

Таким образом, имеем: 1 + 4 * log10(3) / log10(10) > 4

Преобразуем 4 * log10(3) / log10(10): 4 * log10(3) / log10(10) = 4 * lg3 = 4 * (log10(3) / log10(10))

Так как log10(3) / log10(10) < 1 (логарифм числа 3 меньше логарифма числа 10), то 4 * (log10(3) / log10(10)) < 4.

Следовательно, 1 + 4 * (log10(3) / log10(10)) < 1 + 4, что означает, что левая часть неравенства меньше 4.

Таким образом, мы доказали, что log3(10) + 4 * lg3 < 4.

Из этого следует, что исходное неравенство log3(10) + 4 * lg3 > 4 неверно.