Question

Решите неравенство методом интервалов (3х+12)(х^2-2х)<0(х^2-25)(х^2-9)<0​

Answer 1

1) (3x + 12)(x² - 2x) < 0

3 * (x + 4) * x * (x - 2) < 0 |: 3

x(x + 4)(x - 2) < 0

    -             +           -             +

______₀_____₀______₀______

           - 4         0            2

//////////////          //////////////

Ответ : x ∈ ( - ∞ ; - 4) ∪ (0 ; 2)

2) (x² - 25)(x² - 9) < 0

(x - 5)(x + 5)(x - 3)(x + 3) < 0

   +          -           +        -          +

_____₀_____₀____₀____₀_____

         - 5        - 3       3        5

           //////////           //////////

Ответ : x ∈ (- 5 ; - 3) ∪ (3 ; 5)

Answer 2

Чтобы решить неравенство методом интервалов, нам нужно определить значения x, при которых выражение между двумя нулями, и затем определить, в каких интервалах между этими значениями неравенство выполняется.

Давайте рассмотрим первое неравенство:

(3x + 12)(x^2 - 2x) < 0

Сначала найдем точки, в которых выражение обращается в ноль:

1. (3x + 12) = 0 x = -4

2. (x^2 - 2x) = 0 x(x - 2) = 0 x = 0 или x = 2

Теперь построим таблицу знаков для каждого множителя при значениях x между найденными нулями:

markdownCopy code
      (-∞)      -4      (0)      2       (+∞)
------------------------------------------------
3x + 12  |    +       0       -       -       -
x^2 - 2x |    +       0       -       +       +
------------------------------------------------

Из таблицы видно, что первое неравенство выполняется на интервалах (-∞, -4) и (0, 2).

Теперь рассмотрим второе неравенство:

(x^2 - 25)(x^2 - 9) < 0

Снова найдем точки, в которых выражение обращается в ноль:

1. (x^2 - 25) = 0 x = -5 или x = 5

2. (x^2 - 9) = 0 x = -3 или x = 3

Построим таблицу знаков для каждого множителя при значениях x между найденными нулями:

markdownCopy code
      (-∞)      -5      (-3)     (3)      5       (+∞)
------------------------------------------------
x^2 - 25 |    -       0       +       +       +       +
x^2 - 9  |    -       -       -       +       +       +
------------------------------------------------

Из таблицы видно, что второе неравенство выполняется на интервалах (-5, -3) и (3, 5).

Итак, решение первого неравенства: x принадлежит объединению интервалов (-∞, -4) и (0, 2).

Решение второго неравенства: x принадлежит объединению интервалов (-5, -3) и (3, 5).

Итоговое решение системы неравенств: x принадлежит объединению всех указанных интервалов.