Question

Найти область значения функции: 1) y= x²-7x+12; 2) y= 30-11x-x².

Answer 1

$1)\ y=x^2-7x+12$

График данной функции - парабола.

Так как коэффициент перед x^2 положительный, то у параболы ветви направленны вверх.

Находим координаты вершины параболы:

$x=\frac{-(-7)}{2} =3.5\\y=3.5^2-7*3.5+12=-0.25$

Область значений данной функции - от вершины до +oo:

$E(y)=y\in[-0.25;+\infty)$

$2)\ y=30-11x-x^2$

График данной функции - парабола.

Так как коэффициент перед x^2 отрицательный, то у параболы ветви направленны вниз.

Находим координаты вершины параболы:

$x=\frac{-(-11)}{-2} =-5.5\\\\y=30+5.5*11-5.5^2=60.25$

Область значений данной функции - от -oo до вершины:

$D(y)=y\in (-\infty;60.25]$

Answer 2

Область значений функции представляет собой множество всех возможных значений, которые функция может принимать. Для квадратных функций вида y = ax² + bx + c, область значений зависит от ведущего коэффициента 'a':

1. Функция y = x² - 7x + 12 - квадратичная функция с ведущим коэффициентом a = 1 (при x²). Так как a положительное, то у данной функции вершина параболы направлена вверх. Такая парабола не имеет нижней границы, следовательно, она принимает все значения, начиная с определенного минимума. Для нахождения минимума, можно воспользоваться формулой для вершины параболы: x = -b / (2a). В данном случае: x = 7 / (2 * 1) = 7/2 = 3.5. Подставляя это значение x обратно в уравнение, получим y: y = 3.5² - 7 * 3.5 + 12 = -3.25. Следовательно, минимальное значение функции равно -3.25. Таким образом, область значений для этой функции - все действительные числа больше или равные -3.25: y ≥ -3.25.

2. Функция y = 30 - 11x - x² также является квадратичной функцией с ведущим коэффициентом a = -1 (при x²). В данном случае парабола направлена вниз. Это значит, что она имеет верхнюю точку, после которой начинает убывать. Парабола этого типа не имеет верхней границы, и она также принимает все значения, начиная с определенного максимума. Максимум можно найти аналогично: x = -b / (2a) = 11 / (2 * -1) = -11 / 2 = -5.5. Подставляя это значение x обратно в уравнение, получим y: y = 30 - 11 * (-5.5) - (-5.5)² = 52.25. Следовательно, максимальное значение функции равно 52.25. Область значений для этой функции - все действительные числа меньше или равные 52.25: y ≤ 52.25.

Итак, область значений функций:

1. y ≥ -3.25
2. y ≤ 52.25