Question

Вычислить значение производной функции y = (3х + 1)^3 · cos (2х + 2) + π^3 в точке х0 = −1.

Answer 1

$y=(3x+1)^{3} *Cos(2x+2)+\pi ^{3} \\\\y'=[(3x+1)^{3}]'*Cos(2x+2)+(3x+1)^{3}*[Cos(2x+2)]'+(\pi ^{3})'=\\\\=3(3x+1)^{2}*3*Cos(2x+2)+(3x+1)^{3}*(-2Sin(2x+2))+0=\\\\=9(3x+1)^{2} *Cos(2x+2)-2(3x+1)^{3}*Sin(2x+2)$

$y'(x_{0} )=y'(-1)=9[3*(-1)+1]^{2}*Cos[2*(-1)+2]-\\\\-2[3*(-1)+1]^{3}*Sin[2*(-1)+2]=9*4*Cos0-2*(-8)*Sin0=\\\\=36*1+16*0=36\\\\Otvet:\boxed{y'(-1)=36}$

Answer 2

Для вычисления значения производной функции y = (3x + 1)^3 · cos(2x + 2) + π^3 в точке x0 = -1, нам понадобится применить правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования произведения.

1. Найдем производную сложной функции (3x + 1)^3 по x: Правило дифференцирования сложной функции гласит, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

   Дифференцируем внешнюю функцию (3x + 1)^3 по x: (d/dx) [(3x + 1)^3] = 3(3x + 1)^2 * (d/dx) [3x + 1] = 3(3x + 1)^2 * 3

   Обозначим эту производную как f'(x).

2. Найдем производную функции cos(2x + 2) по x: Правило дифференцирования функции cos(x) равно -sin(x), а правило дифференцирования суммы функций гласит, что производная суммы равна сумме производных.

   Дифференцируем функцию cos(2x + 2) по x: (d/dx) [cos(2x + 2)] = -sin(2x + 2) * (d/dx) [2x + 2] = -sin(2x + 2) * 2

   Обозначим эту производную как g'(x).

3. Теперь найдем производную произведения двух функций, (3x + 1)^3 · cos(2x + 2): Производная произведения двух функций равна произведению первой функции на производную второй функции плюс произведение второй функции на производную первой функции.

   (d/dx) [(3x + 1)^3 · cos(2x + 2)] = (3x + 1)^3 * g'(x) + cos(2x + 2) * f'(x)

4. Вычислим f'(-1) и g'(-1) подставив x = -1 в полученные производные: f'(-1) = 3(3(-1) + 1)^2 * 3 = 3(2)^2 * 3 = 3 * 4 * 3 = 36 g'(-1) = -sin(2(-1) + 2) * 2 = -sin(0) * 2 = -0 * 2 = 0

5. Подставим найденные значения в производную произведения: (d/dx) [(3x + 1)^3