Question

Выберите число, являющееся корнем уравненияcos2x=2sinx+1 1)2\π 2)−4,5π 3)5π\6 ​4)2,5π

Answer 1

$\cos (2x)=2\sin x+1\\1-2\sin^2x=2\sin x+1\\1-2\sin^2x-2\sin x-1=0\\-2\sin^2x-2\sin x=0\\-2\sin x(\sin x+1)=0\displaystyle\\\\\left [ {{\sin x=0} \atop {\sin x+1=0}} \right. \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left [ {{\sin x=0} \atop {\sin x=-1}} \right. \\\\\\\left [ {{\boldsymbol{x_1=\pi n,\ n\in\mathbb Z}} \atop {\boldsymbol{x_2=-\dfrac{\pi}2+2\pi k,\ k\in\mathbb Z}}} \right.$

Выбираем подходящий ответ, сравнивая предложенные варианты с полученными $x_1,x_2$  и подставляя вместо  $n,k$  целые значения.

1) $\dfrac2{\pi}$  -  не подходит, так как число π  невозможно получить в знаменателе $x_1,x_2$.

2)  $k=-2;\ \ x_2=-\dfrac{\pi}2+2\pi\cdot (-2)=-0,5\pi-4\pi=-4,5\pi$

3)  $\dfrac {5\pi}6$  -  не подходит, так как получить в знаменателе число 6 для  $x_1,x_2$  не получится.

4) $2{,}5\pi$  - не подходит, так как:

$k=1;\ \ x_2=-\dfrac{\pi}2+2\pi\cdot 1=-0,5\pi+2\pi=1{,}5\pi\\\\k=2;\ \ x_2=-\dfrac{\pi}2+2\pi\cdot 2=-0,5\pi+4\pi=3{,}5\pi$

Ответ: 2) -4,5π.

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

cos(2x) = 2sin(x) + 1

Перепишем синус в терминах косинуса:

cos(2x) = 2(1 - cos^2(x)) + 1 cos(2x) = 2 - 2cos^2(x) + 1 cos(2x) = -2cos^2(x) + 3

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(2x):

-2cos^2(x) + 3 = cos(2x)

Перенесем все на одну сторону:

2cos^2(x) + cos(2x) - 3 = 0

Это уравнение можно решить численно или графически. Давайте рассмотрим варианты ответов и найдем значение x, для которого данное уравнение выполняется:

1. x = 2π: Подставляем x = 2π в уравнение. Получаем левую сторону равной 1, а правая сторона равной 1. Уравнение не выполняется.

2. x = -4.5π: Подставляем x = -4.5π в уравнение. Получаем левую сторону равной 1.5, а правая сторона не является допустимым значением для тригонометрических функций. Уравнение не выполняется.

3. x = 5π/6: Подставляем x = 5π/6 в уравнение. Получаем левую сторону равной -3/2, а правая сторона равной -1/2. Уравнение не выполняется.

4. x = 2.5π: Подставляем x = 2.5π в уравнение. Получаем левую сторону равной 1.5, а правая сторона не является допустимым значением для тригонометрических функций. Уравнение не выполняется.

Судя по всему, ни один из предложенных вариантов ответов не является корнем данного уравнения cos(2x) = 2sin(x) + 1.