Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями 1)у=2х^2+1, у=0,х=2,х=3​

Answer 1

Изобразим график функций $y = 2x^{2} + 1$ и $y = 0$, а также графики уравнений $x = 2$ и $x = 3$ на координатой плоскости. Выделим область, ограниченная этими линиями, площадь которой нужно найти (см. рис.).

Площадь данной фигуры — это определенный интеграл от $x_{1} = 2$ до $x_{2}=3$ функции $y = 2x^{2} + 1$

$S = \displaystyle \int\limits_{2}^{3} (2x^{2} + 1)\, dx = \left(\dfrac{2}{3}x^{3} + x \right) \bigg |^{3}_{2} = \dfrac{2}{3} \cdot 3^{3} + 3 - \left(\dfrac{2}{3}\cdot 2^{3} + 2 \right) =$

$= \dfrac{41}{3}$ кв. ед.

Ответ: $13 \dfrac{2}{3}$ кв. ед. $\blacktriangleleft$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями и кривой, необходимо вычислить интеграл площади между соответствующими границами. В данном случае, у нас есть следующие границы:

1. Верхняя граница: заданная кривая у = 2х^2 + 1
2. Нижняя граница: у = 0
3. Левая граница: х = 2
4. Правая граница: х = 3

Площадь можно вычислить как интеграл разности верхней и нижней границ по переменной x:

$S = \int_{2}^{3} (2x^2 + 1 - 0) \, dx$

Выполним вычисления:

$S = \int_{2}^{3} (2x^2 + 1) \, dx = \frac{2}{3}x^3 + x \Big|_{2}^{3} = \frac{2}{3} \cdot 3^3 + 3 - \frac{2}{3} \cdot 2^3 - 2 = \frac{56}{3}$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна $\frac{56}{3}$ квадратных единиц.