Question

Дан многочлен  f(х) =х4+4х3-25х2 -16х+84 Разложить его на множители, если известно, что все его корни – целые числа.​

Answer 1

F(x)=(x+2)(x−2)(x−3)(x+7)

Answer 2

Если многочлен имеет только целые корни, то один из способов найти разложение на множители - это перебрать все целые числа и проверить, какие из них являются корнями многочлена.

Многочлен: f(x) = x^4 + 4x^3 - 25x^2 - 16x + 84

Мы ищем целые корни, так что можем начать с перебора целых чисел. Для этого можно воспользоваться методом подстановки, подставляя целые числа в многочлен и проверяя, равен ли он нулю.

Начнем с тестирования корней, начиная с -3 до 3 (поскольку многочлен имеет порядок 4, то мы рассматриваем значения от -3 до 3):

f(-3) = (-3)^4 + 4(-3)^3 - 25(-3)^2 - 16(-3) + 84 = 81 - 108 + 225 + 48 + 84 = 330 f(-2) = (-2)^4 + 4(-2)^3 - 25(-2)^2 - 16(-2) + 84 = 16 - 32 - 100 + 32 + 84 = 0 f(-1) = (-1)^4 + 4(-1)^3 - 25(-1)^2 - 16(-1) + 84 = 1 - 4 - 25 + 16 + 84 = 72 f(0) = 0^4 + 4 * 0^3 - 25 * 0^2 - 16 * 0 + 84 = 84 f(1) = 1^4 + 4 * 1^3 - 25 * 1^2 - 16 * 1 + 84 = 1 + 4 - 25 - 16 + 84 = 48 f(2) = 2^4 + 4 * 2^3 - 25 * 2^2 - 16 * 2 + 84 = 16 + 32 - 100 - 32 + 84 = 0 f(3) = 3^4 + 4 * 3^3 - 25 * 3^2 - 16 * 3 + 84 = 81 + 108 - 225 - 48 + 84 = 0

Таким образом, мы нашли, что многочлен имеет корни -2, 2 и 3. Теперь мы можем разложить многочлен на множители, используя эти корни:

f(x) = (x - (-2))(x - 2)(x - 3)

Проведя умножение:

f(x) = (x + 2)(x - 2)(x - 3)

Таким образом, разложение многочлена на множители будет:

f(x) = (x + 2)(x - 2)(x - 3)