Question

Помогите пожалуйста с решением дифференциального уравнения: y'-2y=e^2x

Answer 1

Левую и правую части дифференциального уравнения домножим на $e^{-2x}$.

$y'\cdot e^{-2x}-2y\cdot e^{-2x}=1\\ \\ \left(y\cdot e^{-2x}\right)'=1$

Осталось проинтегрировать обе части уравнения и выразить у(общее решение)

$y\cdot e^{-2x}=\int dx=x+C\\ \\ y=(x+C)e^{2x}$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить это дифференциальное уравнение. Это линейное однородное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, и мы можем использовать метод вариации постоянной.

Шаг 1: Начнем с решения соответствующего однородного уравнения y' - 2y = 0. Его общее решение имеет вид y_h = C * e^(2x), где C - произвольная постоянная.

Шаг 2: Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого предположим, что частное решение имеет вид y_p = A * e^(2x), где A - некоторая постоянная.

Шаг 3: Подставим y_p в исходное неоднородное уравнение и найдем производные: y_p' = 2A * e^(2x) y_p'' = 4A * e^(2x)

Подставим y_p и его производные в исходное уравнение: y_p' - 2y_p = 2A * e^(2x) - 2A * e^(2x) = 0

Как видим, частное решение y_p не участвует в неоднородности уравнения. Это происходит из-за того, что функция e^(2x) является собственным решением однородного уравнения.

Шаг 4: Так как y_p не дает вклада, общее решение исходного неоднородного уравнения будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: y = y_h + y_p = C * e^(2x) + 0 = C * e^(2x)

Итак, общее решение уравнения y' - 2y = e^(2x) имеет вид: y = C * e^(2x)

Где C - произвольная постоянная.