Question

Найдите коэффициент при х³ в биномеальном разложении (3-2х)⁴

Answer 1

$\boxed {\ (a+b)^4=a^2+C_4^1\, a^3b+C_4^2\, a^2b^2+C_4^3\, ab^3+b^4\ }\\\\\\(3-2x)^4=(3+(-2x))^4=\, ...\, +C_4^3\cdot 3\cdot (-2x)^3\, +\, ...=\, ...+\, \dfrac{4\cdot 3\cdot 2}{3!}\cdot 3\cdot (-8x^3)\, +...=\\\\\\=...\, +4\cdot 3\cdot (-8)\cdot x^3\, +\, ...=...\, +(-96)\cdot x^3\, +\, ...$

Коэффициент при  $x^3$   равен  $(-96)$  .

$P.S.\ \ \ \ C_{n}^{k}=\dfrac{n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-k+1)}{k!}$

Answer 2

Для нахождения коэффициента при $x^3$ в разложении бинома $(3 - 2x)^4$, мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона. Эта формула позволяет разложить бином в сумму степеней и коэффициентов, где каждый коэффициент определяется через биномиальный коэффициент.

Формула бинома Ньютона: $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

В данном случае, $a = 3$, $b = -2x$, $n = 4$, и нам нужно найти коэффициент при $x^3$, то есть коэффициент при $b^1$.

Биномиальный коэффициент $\binom{n}{k}$ вычисляется как $\frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n!$ обозначает факториал числа $n$.

Итак, для коэффициента при $x^3$ у нас есть: $\binom{4}{1} \cdot 3^{4-1} \cdot (-2x)^1 = 4 \cdot 3^3 \cdot (-2x) = -216x$

Таким образом, коэффициент при $x^3$ в разложении $(3 - 2x)^4$ равен -216.