Question

Найти проекцию вектора a на ось, определяемую вектором b , если а и b заданы разложением по взаимно перпендикулярным ортам m и p, если a=m-9p, b=5m+7p

Answer 1

Ответ:

6m-2p

Объяснение:

Answer 2

Для того чтобы найти проекцию вектора a на ось, определенную вектором b, мы можем использовать следующую формулу для проекции вектора u на вектор v:

$\text{proj}_\mathbf{v} \mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} \cdot \mathbf{v}$.

В данном случае, вектор a разложен по ортам m и p, а вектор b также разложен по тем же ортам. Давайте найдем сначала скалярное произведение a и b:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (m - 9p) \cdot (5m + 7p)$.

Раскрывая это произведение, получим:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 5m \cdot m + 7p \cdot m - 9p \cdot 5m - 9p \cdot 7p$.

Поскольку орты m и p ортогональны друг другу, то $m \cdot p = 0$. Также заметим, что $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$, поэтому можно упростить выражение:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 5m \cdot m - 9p \cdot 5m$.

Теперь найдем скалярное произведение b и b:

$\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = (5m + 7p) \cdot (5m + 7p)$.

Аналогично раскроем это произведение:

$\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 5m \cdot 5m + 7p \cdot 5m + 5m \cdot 7p + 7p \cdot 7p$.

С учетом ортогональности ортов m и p, это выражение упростится:

$\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 5m \cdot 5m + 7p \cdot 7p$.

Теперь мы можем выразить проекцию вектора a на вектор b:

$\text{proj}_\mathbf{b} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \cdot \mathbf{b}$.

Подставляя найденные значения, получим:

$\text{proj}_\mathbf{b} \mathbf{a} = \frac{(5m \cdot m - 9p \cdot 5m)}{(5m \cdot 5m + 7p \cdot 7p)} \cdot (5m + 7p)$.

Вычислим числитель и знаменатель:

Числитель: $5m \cdot m - 9p \cdot 5m = 5m^2 - 45m^2 = -40m^2$. Знаменатель: $5m \cdot 5m + 7p \cdot 7p = 25m^2 + 49p^2$.

Подставим значения обратно:

$\text{proj}_\mathbf{b} \mathbf{a} = \frac{-40m^2}{25m^2 + 49p^2} \cdot (5m + 7p)$.

Таким образом, проекция вектора a на ось, определенную вектором b, равна:

$\text{proj}_\mathbf{b} \mathbf{a} = \frac{-40m^2}{25m^2 + 49p^2} \cdot (5m + 7p)$.