Question

Решите уравнение x^4=-16

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

x^4=-16

Действительных корней нет, т.к. выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным, т.е. больше 0 или равно 0.

Answer 2

Данное уравнение можно решить, используя комплексные числа. Начнем с того, что можно представить -16 в тригонометрической форме:

-16 = 16 * (-1) = 16 * e^(i * π)

Теперь, чтобы решить уравнение x^4 = -16, найдем корни четвертой степени из обеих сторон:

x^4 = -16 x^4 = 16 * e^(i * π)

Для извлечения корней четвертой степени, мы можем возвести обе стороны уравнения в степень 1/4:

x = (16 * e^(i * π))^(1/4) x = 2 * (e^(i * π/4 + 2 * k * π/4)), где k = 0, 1, 2, 3

Теперь мы можем найти значения x для каждого значения k:

1. k = 0: x = 2 * (e^(i * π/4)) = 2 * (cos(π/4) + i * sin(π/4)) = sqrt(2) + i * sqrt(2)
2. k = 1: x = 2 * (e^(i * 3π/4)) = 2 * (cos(3π/4) + i * sin(3π/4)) = -sqrt(2) + i * sqrt(2)
3. k = 2: x = 2 * (e^(i * 5π/4)) = 2 * (cos(5π/4) + i * sin(5π/4)) = -sqrt(2) - i * sqrt(2)
4. k = 3: x = 2 * (e^(i * 7π/4)) = 2 * (cos(7π/4) + i * sin(7π/4)) = sqrt(2) - i * sqrt(2)

Итак, уравнение x^4 = -16 имеет четыре комплексных корня: sqrt(2) + i * sqrt(2), -sqrt(2) + i * sqrt(2), -sqrt(2) - i * sqrt(2), sqrt(2) - i * sqrt(2).