Question

Дробно-линейная функция задана уравнением: f(x)=(ax+11)/(2x+b) a) Асимптоты функции имеют уравнения x=2, y=3. Найдите значение переменных a и b. b) Используя результаты предыдущего действия: i) приведите функцию f(x)=(ax+11)/(2x+b) к виду =n+k/(x+n); ii) найдите точки пересечения функции с осями координат; iii) постройте график функции.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

а) х=2 это вертикальная асимптота. Это точка разрыва, т. е. это будет та точка, в которой знаменатель равен 0, т.к. на 0 делить нельзя. Следовательно

2·2+b=0;     b=-4

y=3 - это горизонтальная асимптота. К этому значению стремится предел функции. Тогда

$\lim_{x \to \infty} \frac{ax+11}{2x-4} =3$

Применяя правило Лопиталя, будем иметь

$\frac{(ax+11)'}{(2x-4)'} =3\\\frac{a}{2} =3\\a=6$

b)

i)

$\frac{6x+11}{2x-4}= \frac{6x+11}{2(x-2)}=\frac{3x+5.5}{x-2}=\frac{3x+5.5}{x-2}= \frac{3x-6+11.5}{x-2}= \frac{3x-6}{x-2}+\frac{11.5}{x-2}=3+\frac{11.5}{x-2}$

Как видим, к требуемому виду функция не приводится, т.к. 3≠-2

ii) В точках пересечения с осью у абцисса равна 0. Подставляем в уравнение, находим у:

$y=\frac{6\cdot0+11}{2\cdot0-4}= -2.75$

A(0;-2.75) - точка пересечения с осью у

В точках пересечения с осью х ордината равна 0. Решаем уравнение

$\frac{6x+11}{2x-4}=0\\ 6x-4=0\\x=\frac{2}{3}$

$B(\frac{2}{3} ;0)$ - точка пересечения  с осью х.

iii) Дополнительно исследуем функцию в точке разрыва

$\lim_{x \to 2-} \frac{6x+11}{2x-4}= -\infty\\ \lim_{x \to 2+} \frac{6x+11}{2x-4}= +\infty$

Схематически строим график

Answer 2

Давайте начнем с поиска значений переменных a и b, учитывая информацию об асимптотах.

a) Уравнение асимптоты вертикальной прямой имеет вид x = c, где c - это константа. Согласно вашей информации, у нас есть асимптота x = 2. Это означает, что знаменатель 2x + b должен равняться 0 при x = 2:

2 * 2 + b = 0 4 + b = 0 b = -4

Уравнение асимптоты горизонтальной прямой имеет вид y = d, где d - это константа. Согласно вашей информации, у нас есть асимптота y = 3. Это означает, что числитель ax + 11 должен стремиться к 3 * (2x - (-4)) = 6x + 12 при x -> ∞:

ax + 11 -> 6x + 12 при x -> ∞ a = 6

Итак, мы нашли значения переменных a и b: a = 6, b = -4.

b) i) Теперь, когда у нас есть значения a и b, давайте преобразуем функцию f(x):

f(x) = (ax + 11) / (2x + b) = (6x + 11) / (2x - 4) = 3 + (8 / (2x - 4)) = 3 + (4 / (x - 2))

Здесь n = 2, k = 4, n + k/(x + n) = 3 + 4/(x - 2).

ii) Чтобы найти точки пересечения функции с осями координат, мы должны приравнять f(x) к 0 и решить уравнение:

3 + 4/(x - 2) = 0

4/(x - 2) = -3

x - 2 = -4/3

x = 2 - 4/3

x = 2/3

Точка пересечения с осью абсцисс (x-ось) равна (2/3, 0).

Когда f(x) = 0, это означает, что числитель ax + 11 равен 0:

6x + 11 = 0

6x = -11

x = -11/6

Точка пересечения с осью ординат (y-ось) равна (0, -11/6).

iii) График функции будет включать асимптоты, точки пересечения с осями и форму функции между ними. Учитывая, что у нас вертикальная асимптота x = 2 и горизонтальная асимптота y = 3, а также найденные точки пересечения, можно построить график. Тем не менее, я как текстовый ИИ не могу физически нарисовать графики, но вы можете использовать программы для построения графиков, такие как Grapher, Desmos, GeoGebra и другие.