Question

Найдите коэффициент при х 3 в биномиальном разложении (2-х) ⁴ пожалуйста мне через час сдавать​

Answer 1

$\boxed {\ (a+b)^4=a^2+C_4^1\, a^3b+C_4^2\, a^2b^2+C_4^3\, ab^3+b^4\ }\\\\\\(2-x)^4=(2+(-x))^4=\, ...\, +C_4^3\, \cdot \, 2\, \cdot \, (-x)^3\, +\, ...=\, ...+\, \dfrac{4\cdot 3\cdot 2}{3!}\, \cdot 2\cdot \, (-x^3)\, +...=\\\\\\=...\, +4\cdot 2\cdot (-x^3)\, +\, ...=...\, +(-8)\cdot x^3\, +\, ...$

Коэффициент при  $x^3$   равен  $(-8)$  .

$P.S.\ \ \ \ C_{n}^{k}=\dfrac{n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-k+1)}{k!}$

Answer 2

Разложение бинома (2 - x)⁴ по формуле бинома Ньютона выглядит следующим образом:

(2 - x)⁴ = C₄⁰ * 2⁴ * (-x)⁰ + C₄¹ * 2³ * (-x)¹ + C₄² * 2² * (-x)² + C₄³ * 2¹ * (-x)³ + C₄⁴ * 2⁰ * (-x)⁴

где C₄⁰, C₄¹, C₄², C₄³ и C₄⁴ - это биномиальные коэффициенты.

Биномиальные коэффициенты можно вычислить по формуле Cₙᵏ = n! / (k! * (n - k)!) где n - число степеней бинома, k - номер коэффициента (начиная с 0), и ! обозначает факториал.

В данном случае n = 4. Мы ищем коэффициент при x³, то есть k = 1.

Таким образом, коэффициент при x³ будет:

C₄¹ * 2³ * (-1)¹ = 4 * 8 * (-1) = -32.

Итак, коэффициент при x³ в разложении (2 - x)⁴ равен -32.