Question

При каком значении n перпендикулярны векторы 2c ⃗+d ⃗ и nc ⃗-2d ⃗ , если c ⃗ (-2;1),d ⃗(3; -1)?

Answer 1

$\vec{c}=(-2;1)\ ,\ \vec{d}=(3;-1)\\\\2\vec{c}+\vec{d}=(-4+3;\ 2-1)=(-1;1)\\\\n\cdot \vec{c}-2\vec{d}=(-2n-6;\ n+2)\\\\\\\boxed {\ \vec{a}\perp \vec{b}\ \ \Leftrightarrow \ \ \ \vec{a}\cdot \vec{b}=0\ }\\\\(2\vec{c}+\vec{d})\cdot (n\vec{c}-2\vec{d})=-1\cdot (-2n-6)+1\cdot (n+2)=0\ \ ,\\\\2n+6+n+2=0\\\\3n=-8\\\\n=-\dfrac{8}{3}$

Answer 2

Для того чтобы два вектора были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно 0:

$(2\mathbf{c} + \mathbf{d}) \cdot (n\mathbf{c} - 2\mathbf{d}) = 0$

Раскроем скобки и подставим значения векторов $\mathbf{c}$ и $\mathbf{d}$:

$(-4 + n \cdot 3) + (n - 2) = 0$

$-4 + 3n + n - 2 = 0$

$4n - 6 = 0$

$4n = 6$

$n = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Таким образом, при $n = \frac{3}{2}$ векторы $2\mathbf{c} + \mathbf{d}$ и $n\mathbf{c} - 2\mathbf{d}$ будут перпендикулярными.