Question

50 БАЛЛОВ. Тригонометрическое уравнение, ЕГЭ по профильной математике. Вертел как мог его, так и не смог решить. 4sin^3x-(sinx+cosx)=0​

Answer 1

Ответ:

х = п/4 + пk, k є Z

Объяснение:

п — число пи (3,14....)

/ — знак дроби

є — знак принадлежности

Z — множество целых чисел

k є Z — k принадлежит множеству целых чисел ( то есть k - любое целое число)

Answer 2

Давайте попробуем решить данное тригонометрическое уравнение:

$4\sin^3x - (\sin x + \cos x) = 0.$

1. Сначала давайте попробуем преобразовать его, чтобы убрать косинус. Заметим, что $\cos x = \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$. Подставим это в уравнение:

$4\sin^3x - (\sin x + \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)) = 0.$

2. Теперь воспользуемся формулой суммы для синуса:

$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b.$

Применим это ко второму слагаемому:

$4\sin^3x - (\sin x + \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)) = 0.$ $4\sin^3x - (\sin x + \cos x \sin x - \sin x \cos x) = 0.$ $4\sin^3x - 2\sin x \cos x = 0.$

3. Теперь мы можем выразить $\sin x \cos x$ как $\frac{1}{2}\sin 2x$:

$4\sin^3x - \sin x \cdot \frac{1}{2}\sin 2x = 0.$ $4\sin^3x - \frac{1}{2}\sin^2x \cdot \sin 2x = 0.$ $2\sin^3x(2 - \sin 2x) = 0.$

4. Получили произведение двух множителей, и один из них равен нулю, если:

   a) $2 - \sin 2x = 0$

   Тогда $\sin 2x = 2$, что невозможно, так как синус не может превышать 1 по модулю.

   b) $\sin^3x = 0$

   Это выполняется, когда $\sin x = 0$, что имеет бесконечно много решений: $x = k\pi$, где $k$ - целое число.

Итак, решения уравнения $4\sin^3x - (\sin x + \cos x) = 0$ - это $x = k\pi$, где $k$ - целое число.