Question

Найти корни { x^2+y^2=5 x*y=-2

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Из второго уравнения выразим х=2/у и подставим в первое:

4/(y^2) + y^2 = 5

умножим на y^2:

4 + y^4 - 5y^5 = 0

Замена переменных t=y^2 =>

t^2-5t+4=0

t_1=4

t_2=1

Значит,

у_1=1 => x_1=2

у_2=-1 => x_1=-2

у_3=2 => x_1=1

у_4=-2 => x_1=-1

Ответ: (1,2), (-1,-2), (2,1), (-2,-1)

Answer 2

Для нахождения корней системы уравнений:

1. $x^2 + y^2 = 5$
2. $xy = -2$

Мы можем воспользоваться методом подстановки. Воспользуемся вторым уравнением для выражения одной из переменных через другую:

$y = \frac{-2}{x}$

Подставим это значение в первое уравнение:

$x^2 + \left(\frac{-2}{x}\right)^2 = 5$

Упростим уравнение:

$x^2 + \frac{4}{x^2} = 5$

Умножим обе стороны на $x^2$ для избавления от дробей:

$x^4 + 4 = 5x^2$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $x^2$:

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Это уравнение можно решить как обычное квадратное уравнение относительно $x^2$. Произведем замену $z = x^2$:

$z^2 - 5z + 4 = 0$

Это квадратное уравнение можно разложить на множители:

$(z - 4)(z - 1) = 0$

Отсюда получаем два значения $z$: $z_1 = 4$ и $z_2 = 1$.

Возвращаясь к $x$, получаем:

$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

Теперь мы можем найти соответствующие значения $y$ с использованием второго уравнения $y = \frac{-2}{x}$:

При $x = 2$, $y = -1$. При $x = -2$, $y = 1$. При $x = 1$, $y = -2$. При $x = -1$, $y = 2$.

Итак, корни системы уравнений: $(2, -1), (-2, 1), (1, -2), (-1, 2)$.