Question

При каких значениях (x²-7)²-18(x²-7)+90 принимает наименьшее значение? ​

Answer 1

Ответ:

Выражение примет минимальное значение при х=4; х=-4.

Объяснение:

(х²-7)²-18(х²-7)+90

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

х⁴-14х²+49-18х²+126+90=х⁴-32х²+265

Выделим полный квадрат:

(х⁴-32х²+256)+9=(х²-16)²+9

Выражение примет минимальное значение, если

(х²-16)²=0

х²-16=0

(х-4)(х+4)=0

х=4 или х=-4

То есть выражение примет минимальное значение при х=4; х=-4.

Answer 2

Ответ:

x = ±4

Объяснение:

Введём обозначение t=(x²-7) в выражении  (x²-7)²-18·(x²-7)+90. Тогда получим квадратный трёхчлен t²-18·t+90. Рассмотрим функцию

y=t²-18·t+90, график которой парабола.

Известно, что если главный коэффициент больше нуля, то квадратичная функция принимает своё минимальное значение в вершине параболы. Преобразуем правую часть квадратичной функции по формуле сокращённого умножения (a-b)²=a²-2·a·b+b² и находим координаты вершины:

y=t²-18·t+90=t²-18·t+81+9=t²-2·9·t+9²+9=(t-9)²+9.

Отсюда, координаты вершины (9; 9), то есть наименьшее значение функции равно 9.

Теперь находим значение аргумента x при которых достигается наименьшее значение. Проведём обратную подстановку:

(x²-7)=t, t=9 ⇔ x²-7=9 ⇔ x²-16=0 ⇔ x²-4²=0 ⇔ (x+4)·(x-4)=0 ⇔ x = -4, x = 4.

Значит, функция y=(x²-7)²-18(x²-7)+90 принимает наименьшее значение при значениях аргумента ±4.

Answer 3

Давайте рассмотрим данное выражение по частям и попробуем определить, при каких значениях оно примет наименьшее значение.

Выражение: $f(x) = (x^2 - 7)^2 - 18(x^2 - 7) + 90$.

Обозначим $u = x^2 - 7$, тогда наше выражение можно переписать как: $f(x) = u^2 - 18u + 90.$

Для нахождения минимального значения этой квадратичной функции $f(x)$ мы можем воспользоваться методом завершения квадрата или производной. Воспользуемся производной:

$f'(u) = 2u - 18.$

Минимальное значение функции будет достигаться там, где производная равна нулю:

$2u - 18 = 0.$

Решая это уравнение относительно $u$, получаем $u = 9$. Теперь, зная $u$, можем найти соответствующее значение $x$:

$u = x^2 - 7 = 9.$ $x^2 = 16.$ $x = \pm 4.$

Таким образом, наименьшее значение функции $f(x)$ будет достигаться при $x = 4$ или $x = -4$. Подставляя значение $u = 9$ в выражение для $f(x)$, получаем:

$f(x) = 9^2 - 18 \cdot 9 + 90 = 9.$

Следовательно, наименьшее значение функции $f(x)$ равно 9 и достигается при $x = 4$ или $x = -4$.