Question

ПОМОГИТЕ!!! УМОЛЯЮ!!! Постройте график функции у = х2 – 6х – 7 и найдите: а) нули функции; б) промежутки, на которых функции возрастает и убывает; в) промежутки, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения; г) наименьшее значение функции.

Answer 1

Ответ:

а) нули функции:  х = -1, х = 7;

б) промежутки, на которых функции возрастает и убывает:

от - ∞ до х = 3 убывает и на участке от х = 3 до + ∞ возрастает;

в) промежутки, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения:

- функция положительная на участке от - ∞ до х = -1  и на участке от  х = 7 до +∞;

- функция отрицательная на промежутке между нулями функции от  х = -1  до х = 7;

г) наименьшее значение функции у = -16.

Объяснение:

1) Уравнение функции является приведённым.

Находим его корни:

х1,2 = +3 ± √ 9 -(-7) = 3 ± 4.

х1 = 7,

х2 = -1.

Проверяем полученные корни:

7 * (-1) = - 7 - равно свободному члену;

7 - 1 = 6 - равно второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком.

Корни найдены верно.

Таким образом, нули функции:

х = -1  и х = 7.

2) Это значит, что график функции у = х2 – 6х – 7 пересекает ось х в точках  х = -1 и х = 7.

3) Графиком данном функции является парабола (т.к.  х^2), ветви которой направлены вверх (коэффициент при х^2 - положительный, а именно: +1), это значит, что:

- на участке от - ∞ до х = -1  - функция положительная;

- на промежутке между нулями функции от  х = -1  до х = 7 - отрицательная;

- на участке от  х = 7 до +∞  - положительная.

4) Наименьшим значением данной функции является координата y  вершины параболы.

Координаты вершины параболы:

х = - b/2a = 6/2 = 3

y = c - b^2/4a = - 7 - (-6)^2/4 = - 7 - 9 = - 16.

Проверим полученные значения, для чего в первоначальное уравнение подставим вместо х его значение:

у = х2 – 6х – 7 = 3*3 - 6*3 - 7 = 9 - 18 - 7 = - 16; сходится с расчетом; значит, координаты вершины параболы найдены верно.

Поэтому есть все основания ответить на последние вопросы.

5) Функция убывает на участке от - ∞ до х = 3 и возрастает на участке от х = 3 до + ∞.

6) Наименьшее значение функции:

y = -16.

Ответ:

а) нули функции:  х = -1, х = 7;

б) промежутки, на которых функции возрастает и убывает:

от - ∞ до х = 3 убывает и на участке от х = 3 до + ∞ возрастает;

в) промежутки, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения:

- функция положительная на участке от - ∞ до х = -1  и на участке от  х = 7 до +∞;

- функция отрицательная на промежутке между нулями функции от  х = -1  до х = 7;

г) наименьшее значение функции у = -16.

Answer 2

Конечно, я помогу вам с этим. Давайте разберемся по порядку.

а) Чтобы найти нули функции, нужно найти значения $x$, при которых $y = 0$. Уравнение $y = x^2 - 6x - 7 = 0$ можно решить с помощью квадратного корня или факторизации. Подставим 0 вместо $y$:

$0 = x^2 - 6x - 7$

Мы можем факторизовать это уравнение или использовать квадратное уравнение. Давайте воспользуемся квадратным уравнением:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Где в нашем случае $a = 1$, $b = -6$, и $c = -7$. Подставим значения и рассчитаем корни:

$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$ $x = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2}$ $x = \frac{6 \pm 8}{2}$

Таким образом, получаем два значения $x$:

$x_1 = 7$ и $x_2 = -1$.

Итак, нули функции $y = x^2 - 6x - 7$ равны $x = 7$ и $x = -1$.

б) Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, нужно найти значения $x$, при которых производная функции $y'$ положительна (функция возрастает) и отрицательна (функция убывает). Посчитаем производную:

$y = x^2 - 6x - 7$ $y' = 2x - 6$

Производная $y'$ равна $2x - 6$. Чтобы найти значения $x$, при которых $y'$ положительна и отрицательна:

$2x - 6 > 0$ $2x > 6$ $x > 3$

Значит, функция возрастает на интервале $x > 3$.

$2x - 6 < 0$ $2x < 6$ $x < 3$

Значит, функция убывает на интервале $x < 3$.

в) Для определения промежутков, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения, можно рассмотреть знак самой функции $y = x^2 - 6x - 7$. Мы уже видели, что нули функции находятся в точках $x = 7$ и $x = -1$. Возьмем точки из каждого интервала:

Выберем $x = 0$, который находится между -1 и 7. $y = (0)^2 - 6(0) - 7 = -7$ Таким образом, функция отрицательна на интервале (-1, 7).

Выберем $x = 8$, который больше 7. $y = (8)^2 - 6(8) - 7 = 1$ Таким образом, функция положительна на интервале (7, ∞).

г) Наименьшее значение функции можно найти в вершине параболы. Вершина параболы с координатами $(h, k)$ имеет координату $h = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = 1$ и $b = -6$:

$h = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$

Теперь подставим $x = 3$ в уравнение функции:

$y = (3)^2 - 6(3) - 7 = -16$