Question

Y(1+x2)*y'=x(1+y2) дифференциальное уравнение пж

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит как уравнение вида:

$y(1+x^2)\frac{dy}{dx} = x(1+y^2).$

Для решения этого уравнения можно использовать метод разделяющихся переменных. Произведем несколько шагов:

1. Разделим обе стороны уравнения на $(1+y^2)$:

$\frac{y(1+x^2)}{1+y^2}\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1+y^2}.$

2. Теперь можем интегрировать обе стороны по отдельности:

$\int \frac{y(1+x^2)}{1+y^2}\,dy = \int \frac{x}{1+y^2}\,dx.$

3. Левую часть интеграла можно решить, сделав замену переменной $y^2 = u$:

$\int \frac{y(1+x^2)}{1+y^2}\,dy = \frac{1}{2}\int \frac{1+x^2}{1+u}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1+x^2}{1+y^2}\,du.$

4. Правую часть интеграла можно решить, также сделав замену $y^2 = u$, и дополнительно заметив, что $\frac{du}{dx} = 2y\frac{dy}{dx}$:

$\int \frac{x}{1+y^2}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x}{1+u}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{du}{dx}\,du = \frac{1}{2} \int du = \frac{u}{2} + C.$

5. Вернемся к переменной $y$, используя замену $y^2 = u$:

$\frac{1}{2}\int \frac{1+x^2}{1+y^2}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1+x^2}{1+y^2}\,dy^2 = \frac{1}{2}\int \frac{1+x^2}{1+y^2}\,dy.$

6. Получили уравнение:

$\frac{1}{2}\int \frac{1+x^2}{1+y^2}\,dy = \frac{u}{2} + C.$

Теперь вам нужно проинтегрировать левую часть уравнения, что может потребовать использования тригонометрических подстановок или других методов в зависимости от конкретного вида интеграла.