Question

У Олега есть четыре карточки, на каждой из которых с одной и с другой стороны написаны натуральные числа (всего написано 8 чисел). Он рассматривает всевозможные четвёрки чисел, где первое число написано на первой карточке, второе — на второй, третье — на третьей, четвёртое — на четвёртой. Затем для каждой четвёрки он выписывает произведение чисел к себе в блокнот. Чему равна сумма восьми чисел на карточках, если сумма шестнадцати чисел в блокноте Олега равна 132?

Answer 1

Ответ:

18

Объяснение:

Произведение всех чисел, которые образуют все возможные четверки  равно $(k_{1}+k_{2})(k_{3}+k_{4})(k_{5}+k_{6})(k_{7}+k_{8})$, где $k_{i},k_{i+1} ,i=1,2,3,4$ это числа записанные на i-ой карточке.

132=2*2*3*11 Так как сумма двух чисел на карточке обязательно больше 1, то есть единственный вариант представить число 132 в виде  произведение 4 чисел. Поэтому искомая сумма равна 2+2+3+11=18

Answer 2

Пусть числа на карточках обозначим как A, B, C, D (с одной стороны) и W, X, Y, Z (с другой стороны). Тогда у нас есть следующая система уравнений:

A * W + B * X + C * Y + D * Z = 132 (сумма произведений в блокноте) A + B + C + D + W + X + Y + Z = ? (сумма чисел на карточках)

Мы знаем, что на каждой стороне карточки написаны натуральные числа. Это означает, что числа A, B, C, D, W, X, Y и Z все больше или равны 1. Также, поскольку у нас 8 чисел и каждая карточка имеет две стороны, мы знаем, что сумма чисел на карточках равна:

A + B + C + D + W + X + Y + Z = 2 * (A + B + C + D)

Теперь давайте подставим это выражение в первое уравнение:

A * W + B * X + C * Y + D * Z = 132 2 * (A + B + C + D) * (W + X + Y + Z) = 132

Делим обе стороны на 2:

(A + B + C + D) * (W + X + Y + Z) = 66

Мы знаем, что 66 имеет несколько пар факторов: (1, 66), (2, 33), (3, 22), (6, 11). Поскольку числа на карточках должны быть натуральными, то можно сделать следующие соответствия:

A + B + C + D = 6 W + X + Y + Z = 11

Теперь мы знаем, что сумма чисел на карточках равна 6 + 11 = 17. Следовательно, сумма восьми чисел на карточках равна 2 * 17 = 34.