Question

Числа от 1 до 1992…1992 (число 1992 повторено 1992 раза) записаны на отдельных карточках. Можно ли разделить эти карточки на три группы таким образом, чтобы сумма чисел на карточках второй группы была на 33 больше, чем на карточках первой группы, а сумма чисел в третьей группе на 102 больше, чем во второй группе?

Answer 1

Да, это возможно. Давайте рассмотрим задачу более подробно.

Обозначим сумму чисел на карточках первой группы через \( S_1 \), на второй группе через \( S_2 \), а на третьей группе через \( S_3 \).

Так как у нас числа от 1 до 1992 повторены 1992 раза, то общая сумма всех чисел равна сумме арифметической прогрессии:

\[ S_{\text{общ}} = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2} \],

где \( n \) - количество членов последовательности, \( a_1 \) - первый член, \( a_n \) - последний член.

В нашем случае \( n = 1992 \), \( a_1 = 1 \), \( a_n = 1992 \).

\[ S_{\text{общ}} = \frac{1992 \cdot (1 + 1992)}{2} \].

Теперь мы можем разделить общую сумму на три группы так, чтобы выполнены условия задачи:

\[ S_2 = S_1 + 33 \],

\[ S_3 = S_2 + 102 \].

Теперь можем записать систему уравнений:

\[ S_1 + S_2 + S_3 = S_{\text{общ}} \],

\[ S_2 = S_1 + 33 \],

\[ S_3 = S_2 + 102 \].

Подставим значения и решим систему уравнений:

\[ S_1 + (S_1 + 33) + (S_1 + 33 + 102) = \frac{1992 \cdot (1 + 1992)}{2} \].

Решив уравнение, найдем значения \( S_1 \), \( S_2 \) и \( S_3 \).

После того, как найдены суммы для каждой группы, мы можем распределить карточки между группами, учитывая, что каждое число повторяется 1992 раза.