Question

Срочно!!!ДАМ 50 баллов Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(14;2), B(18;6), C(12;12) и D(8;8)

Answer 1

Ответ:

Объяснение: 1) Найдём стороны четырёхугольника:

АВ²=(18-14)²+(6-2)²=16+16=32, ⇒АВ=4√2;

СД²=(12-8)²+(12-8)²=16+16=32, ⇒СД=4√2;

ВС²= (18-12)²+(12-6)²=36+36=72, ⇒ВС=6√2:

АД²=(14-8)²+(8-2)²=36+36=72,⇒АД=6√2.

Итак, АВ=СД, ВС=АД, т.е. противоположные стороны равны.

Найдём длины диагоналей:

АС²= (14-12)²+(12-2)²= 4+100=104;

ВД²=(18-8)²+(8-6)²=100+4=104, ⇒АС=ВД, т. е. диагонали равны.  Значит АВСД-прямоугольник, чтд.

Площадь S= АВ·ВС= 4√2·6√2= 24·2=48.

Answer 2

Для доказательства, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, нам нужно показать, что его стороны параллельны и что противоположные углы являются прямыми углами.

Сначала вычислим уравнения прямых, проходящих через соседние вершины:

1. Уравнение прямой AB, проходящей через точки A(14;2) и B(18;6): Уравнение прямой: y = mx + b, где m - наклон, b - y-пересечение. m = (6 - 2) / (18 - 14) = 4 / 4 = 1 Используя точку A(14;2): 2 = 1 * 14 + b => b = -12 Уравнение прямой AB: y = x - 12.

2. Уравнение прямой BC, проходящей через точки B(18;6) и C(12;12): m = (12 - 6) / (12 - 18) = -6 / -6 = 1 Используя точку B(18;6): 6 = 1 * 18 + b => b = -12 Уравнение прямой BC: y = x - 12.

3. Уравнение прямой CD, проходящей через точки C(12;12) и D(8;8): m = (8 - 12) / (8 - 12) = -4 / -4 = 1 Используя точку C(12;12): 12 = 1 * 12 + b => b = 0 Уравнение прямой CD: y = x.

4. Уравнение прямой DA, проходящей через точки D(8;8) и A(14;2): m = (2 - 8) / (14 - 8) = -6 / 6 = -1 Используя точку D(8;8): 8 = -1 * 8 + b => b = 16 Уравнение прямой DA: y = -x + 16.

Теперь мы видим, что стороны AB и CD имеют одинаковый наклон, а стороны BC и DA также имеют одинаковый наклон. Это означает, что противоположные стороны параллельны.

Также мы можем заметить, что прямая AB (y = x - 12) перпендикулярна прямой DA (y = -x + 16), так как их наклоны обратно пропорциональны и их произведение равно -1.

Аналогично, прямая BC (y = x - 12) перпендикулярна прямой CD (y = x), так как их наклоны обратно пропорциональны и их произведение также равно -1.

Таким образом, все четыре угла четырёхугольника ABCD являются прямыми углами, и его стороны параллельны попарно, что делает его прямоугольником.

Для вычисления площади прямоугольника, мы можем использовать формулу:

Площадь = Длина * Ширина.

Длина = AB = √((18 - 14)^2 + (6 - 2)^2) = √(16 + 16) = 4√2. Ширина = BC = √((12 - 18)^2 + (12 - 6)^2) = √(36 + 36) = 6√2.

Площадь = 4√2 * 6√2 = 24 * 2 = 48 квадратных унитарных единиц.

Таким образом, площадь прямоугольника ABCD равна 48 квадратным унитарным единицам.