Question

Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(13;3), B(15;7), C(9;10) и D(7;6). S ABCD = ?

Answer 1

Ответ:

Докажем, что вектор AB параллелен вектору CD:

(AB) = ( 19 — 15; 5 — 3 ).

(AB) = ( 4; 2 ).

(CD) = ( 13 — 17; 7 — 9 ).

(CD) = ( - 4; - 2 ).

( 4/2 ) = ( ( - 4 )/( - 2 ) ).

Мы можем утверждать, что AB параллельно CD.

Найдем длину векторов AB и CD:

|AB| = √( 16 + 4 ) = √20.

|CD| = √( 16 + 4 ) = √20.

Так как вектора параллельны и из длины равны, можно утверждать, что данный четырехугольник является прямоугольником.

Найдем площадь прямоугольника:

S = AB * CD = √20 * √20 = 20.

Answer 2

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, нам необходимо проверить два условия:

1. Диагонали AC и BD пересекаются в их серединах и делят друг друга пополам.
2. Произведение коэффициентов наклона противоположных сторон равно -1.

Давайте проверим оба этих условия.

1. Проверка пересечения диагоналей: Первая диагональ AC: AC = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) AC = √((9 - 13)² + (10 - 3)²) AC = √((-4)² + 7²) AC = √(16 + 49) AC = √65

   Вторая диагональ BD: BD = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) BD = √((7 - 15)² + (6 - 7)²) BD = √((-8)² + (-1)²) BD = √(64 + 1) BD = √65

   Диагонали AC и BD имеют одинаковую длину, и их пересечение будет в их серединах, поэтому первое условие выполняется.

2. Проверка коэффициентов наклона: Коэффициент наклона стороны AB: m₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) m₁ = (7 - 3) / (15 - 13) m₁ = 4 / 2 m₁ = 2

   Коэффициент наклона стороны CD: m₂ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) m₂ = (6 - 10) / (7 - 9) m₂ = (-4) / (-2) m₂ = 2

   Коэффициенты наклона противоположных сторон AB и CD равны друг другу, и их произведение равно 2 * 2 = 4. Так как произведение коэффициентов наклона равно -1, второе условие также выполняется.

Таким образом, по результатам проверки обоих условий, можно заключить, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником.

Чтобы найти площадь прямоугольника ABCD, мы можем использовать формулу:

Площадь = длина стороны AB * длина стороны BC

Длина стороны AB: AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) AB =