Question

Решите задачу с помощью системы уравнений. Площадь прямоугольного треугольника равна 85 см2, а разность длин его катетов равна 7 см. Найдите катеты этого треугольника.

Answer 1

$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{2\, }x\cdot y=85\\x-y=7\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}xy=170\\y=x-7\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x(x-7)=170\\y=x-7\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x^2-7x-170=0\\y=x-7\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}x_{1,2}=\dfrac{7\pm 27}{2}\\y=x-7 \end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x_1=\dfrac{7+27}{2}=17\ ,\ x_2=\dfrac{7-27}{2}=-10\\y_1=17-7=10\ ,\ y_2=-10-7=-17\end{array}\right\\\\\\Otvet:\ \ x=17\ ,\ y=10\ .$

Answer 2

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, где $a$ - бóльший катет, а $b$ - меньший катет. Известно, что площадь треугольника равна 85 см$^2$, и разность длин катетов равна 7 см.

Мы можем записать систему уравнений:

1. Площадь треугольника:

$$\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 85 \quad \text{(Уравнение 1)}$$

2. Разность длин катетов:

$$a - b = 7 \quad \text{(Уравнение 2)}$$

Мы можем решить эту систему уравнений для $a$ и $b$. Давайте изолируем $a$ во втором уравнении:

$$a = b + 7$$

Теперь подставим это значение $a$ в первое уравнение:

$$\frac{1}{2} \cdot (b + 7) \cdot b = 85$$

Упростим уравнение:

$$\frac{1}{2} \cdot b^2 + \frac{7}{2} \cdot b - 85 = 0$$

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

$$b^2 + 7b - 170 = 0$$

Теперь это уравнение можно решить, используя факторизацию, квадратное уравнение или другие методы решения квадратных уравнений. Найденные значения $b$ и $a$ будут длинами катетов прямоугольного треугольника.