Question

Повне дослідження функції y=(x-1)^3/(x-2)^2

Answer 1

Ответ:6х9с

Объяснение: ответ

Answer 2

Звучить, ніби ви хочете докладно проаналізувати функцію y = (x - 1)^3 / (x - 2)^2. Давайте почнемо з деяких ключових аспектів такого дослідження:

1. Домен та область визначення: Функція визначена для всіх значень x, крім x = 2 (оскільки в знаменнику маємо (x - 2)^2). Тобто домен функції - усі дійсні числа, окрім x = 2.

2. Нульові точки: Щоб знайти нульові точки, розв'яжемо рівняння (x - 1)^3 = 0:

   (x - 1)^3 = 0 x - 1 = 0 x = 1

   Отже, єдиний нуль функції знаходиться при x = 1.

3. Вертикальні асимптоти: Якщо знаменник стає дорівнювати нулю (x - 2)^2 = 0, то це може призвести до вертикальної асимптоти. Однак (x - 2)^2 ніколи не дорівнює нулю для будь-якого значення x, крім x = 2 (а це не входить в домен функції). Тобто немає вертикальних асимптот.

4. Горизонтальні асимптоти: Для визначення горизонтальних асимптот подивимося на поведінку функції при x, який наближається до плюс або мінус безмежності.

   Як x → ±∞, можемо спростити функцію:

   y = (x - 1)^3 / (x - 2)^2 ≈ x^3 / x^2 = x

   Отже, горизонтальна асимптота буде y = x.

5. Перше похідне: Для аналізу мінімумів, максимумів та інтервалів зростання/спадання функції, давайте знайдемо першу похідну:

   y = (x - 1)^3 / (x - 2)^2 y' = [(3(x - 1)^2)(x - 2)^2 - 2(x - 1)^3] / (x - 2)^4

   Відображення рівняння досить складне, але основна інформація, яку ми отримуємо, - це інтервали зростання та спадання функції.

6. Друга похідна: Для знаходження точок перегину та визначення їх характеру, знайдемо другу похідну:

   y'' = [6(x - 1)(x - 2)^2 - 4(x - 1)^2(x - 2)] / (x - 2)^6

7. Точки перегину: Точки перегину визначаються там, де друга похідна дорівнює нулю або не існує. Розв'яжемо рівняння:

   6(x - 1)(x - 2)^2 - 4(x - 1)^2(x - 2) = 0 2(x - 1)(x - 2)[3(x - 2) - 2(x - 1)] = 0 2(x - 1)(x - 2)(x - 4) = 0

   Отже, є три можливі точки перегину: x = 1, x = 2, x = 4.

Це загальний огляд дослідження функції y = (x - 1)^3 / (x - 2)^2. Докладніший аналіз може включати побудову графіка, вивчення максимумів та мінімумів, областей зростання/спадання, аналізу точок перегину, тощо.