Question

Розкласти на множники вираз x(y²-z²)+y(z²-x²)+z(x²-y²) ​

Answer 1

x(y² - z²) + y(z² - x²) + z(x² - y²) = x·y²-x·z²+y·z²-y·x²+z·x²-z·y² =

= (yz² - xz²) + (x²z - y²z) + (xy² - x²y) = z²(y - x) + z(x² - y²) + xy(y - x) =

= z²(y - x) - z(y - x)(x + y) + xy(y - x) = (y - x)(z² - zx - zy + xy) =

= (y - x)[(z² - zx) - (zy - xy)] = (y - x) [z(z - x) - y(z - x)] = (y - x)(z - x)(z - y)

Answer 2

Давайте розкладем цей вираз на множники за допомогою алгебраїчних перетворень:

1. Почнемо з виразу x(y² - z²) + y(z² - x²) + z(x² - y²).

2. Розкриємо дужки у кожному доданку: xy² - xz² + yz² - yx² + zx² - zy².

3. Згрупуємо подібні доданки: (xy² - yx²) + (yz² - zy²) + (zx² - xz²).

4. У кожній парі доданків помітно, що перший доданок - це різниця квадратів, тобто a² - b² = (a + b)(a - b): x(y + x)(y - x) + y(z + z)(z - y) + z(x + z)(x - z).

5. Загальне спрощення: x(y + x)(y - x) + y(2z)(z - y) + z(x + z)(x - z).

6. Враховуючи, що 2z = 2z і розкривши ще дві дужки, отримаємо: x(y + x)(y - x) - 2yz(y - z) + z(x + z)(x - z).

7. Останній крок - розкрити залишні дужки: x(y + x)(y - x) - 2y^2z + 2yz^2 + z(x + z)(x - z).

8. За допомогою розкритих дужок ми можемо спростити ще декілька доданків: xy(y - x) - x^2(y - x) - 2y^2z + 2yz^2 + zx(x - z) + z^2(x - z).

9. Згрупуємо подібні доданки: (xy - x^2)(y - x) - 2y^2z + 2yz^2 + (zx - z^2)(x - z).

Отже, вираз розкладено на множники: (x - y)(x + y)(x - z) + 2yz(y - z) + (z - x)(z + x)(x - z).

Остаточний вираз: (x - y)(x + y)(x - z) + 2yz(y - z) - (x - z)(x + z)(z - x).