Question

1)Представьте выражение sin18+sin24 в виде произведения. И вычислите решение . 2) Преобразуйте в произведения данное выражение: sin(α+π/4)+sin(α−π/4)

Answer 1

Ответ:

$1) \: 0.715 \\ 2) \sqrt{2} \: sin \: \alpha$

Объяснение:

$1) \: \: \: sin \: 18^{\circ} + sin \: 24^{\circ} = 2 \times (sin \: ( \frac{18 ^{\circ} + 24 ^{\circ} }{2} ) \times cos ( \frac{18 ^{\circ} - 24 ^{\circ} }{2} )) = 2 \times sin \: 21^{\circ} \times cos \: ( - 3^{\circ}) = 2sin \: 21^{\circ}cos \: 3^{\circ} \approx2 \times 0.358 \times 0.999 \approx0.715$

$2) \: \: \: sin \: ( \alpha + \frac{\pi}{4} ) + sin \: ( \alpha - \frac{\pi}{4} ) =( sin \: \alpha \times cos \frac{\pi}{4} + cos \: \alpha \times sin \frac{\pi}{4} ) + (sin \: \alpha \times cos \frac{\pi}{4} - cos \: \alpha \times sin \frac{\pi}{4}) = sin \: \alpha \times cos \frac{\pi}{4} + cos \: \alpha \times sin \frac{\pi}{4} + sin \: \alpha \times cos \frac{\pi}{4} - cos \: \alpha \times sin \frac{\pi}{4} = 2sin \: \alpha cos \frac{\pi}{4} = 2sin \: \alpha \times \frac{ \sqrt{2} }{2} = \sqrt{2} sin \: \alpha$

Использовались формулы:

$sin \: \alpha + sin \: \beta = 2 \times (sin( \frac{ \alpha + \beta }{2} ) \times cos ( \frac{ \alpha - \beta }{2} ))$

$sin \: ( \alpha + \beta ) = sin \: \alpha \times cos \: \beta + cos \: \alpha \times sin \: \beta$

$sin \: ( \alpha - \beta ) = sin \: \alpha \times cos \: \beta - cos \: \alpha \times sin \: \beta$

Answer 2

1. Для представления выражения sin(18°) + sin(24°) в виде произведения используем тригонометрическую формулу суммы синусов:

sin(A) + sin(B) = 2 * sin((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2).

Подставляя значения A = 18° и B = 24°:

sin(18°) + sin(24°) = 2 * sin((18° + 24°) / 2) * cos((18° - 24°) / 2) = 2 * sin(21°) * cos(-3°) = 2 * sin(21°) * cos(3°) (так как cos(-x) = cos(x))

Таким образом, выражение sin(18°) + sin(24°) можно представить в виде произведения 2 * sin(21°) * cos(3°).

2. Для преобразования выражения sin(α + π/4) + sin(α - π/4) в произведение используем тригонометрическую формулу суммы синусов:

sin(A) + sin(B) = 2 * sin((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2).

Подставляя значения A = α + π/4 и B = α - π/4:

sin(α + π/4) + sin(α - π/4) = 2 * sin((α + π/4 + α - π/4) / 2) * cos((α + π/4 - α + π/4) / 2) = 2 * sin(α) * cos(π/4) = √2 * sin(α).

Таким образом, данное выражение преобразуется в √2 * sin(α).