Question

Докажите тождество,используя принцип математической индукции: 1)1+2+3+n...=

Answer 1

Ответ:

Если мой ответ вам помог, прошу нажать на лучший ответ.

$1 + 2 + 3 + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

Если n=1, то тождество будет верным:

$1 = \frac{1(1 + 1)}{2} = 1$

Пусть n будет равно k, тогда:

$1 + 2 + 3 + k = \frac{k(k + 1)}{2}$

А теперь пусть n будет равно k+1, из этого:

$1 + 2 + 3 + k + (k + 1) = \frac{(k + 1)(k + 1 + 1)}{2}$

Подставим под нынешнее уравнение прошлое, тогда:

$\frac{k(k + 1)}{2} + (k + 1) = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}$

$\frac{ {k}^{2} + k + 2k + 2 }{2} = \frac{ {k}^{2} + 2k + k + 2 }{2}$

$\frac{ {k}^{2} + 3k + 2 }{2} = \frac{ {k}^{2} + 3k + 2 }{2}$

Так как и правая, и левая сторона равны, то и тождество полностью верно. Это и следовало доказать.

Answer 2

Для доказательства данного тождества с использованием принципа математической индукции, мы сначала установим базовый шаг (base case), а затем докажем индукционный шаг (inductive step).

1. Базовый шаг (base case):

Для начала, давайте рассмотрим случай, когда n = 1:

1 = 1

Это является базовым случаем, и тождество верно для n = 1.

2. Индукционный шаг (inductive step):

Предположим, что тождество верно для некоторого положительного целого числа k, т.е.,

1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2

Теперь мы должны доказать, что тождество также верно для k + 1. Добавим (k + 1) к обеим сторонам:

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1)

Теперь давайте преобразуем правую сторону:

k(k + 1)/2 + (k + 1) = (k^2 + k + 2k + 2)/2

Теперь объединим подобные члены:

(k^2 + 3k + 2)/2

Теперь мы видим, что мы получили выражение, которое выглядит как (k + 1)(k + 2)/2. Таким образом, для k + 1 тождество также верно.

Таким образом, мы доказали, что если тождество верно для некоторого целого положительного числа k, то оно также верно и для k + 1. Исходя из базового шага и индукционного шага, мы можем заключить, что тождество верно для всех положительных целых чисел n.