Question

Решите систему:sin^2x+cosy=1 cos^2x+cosy=1

Answer 1

Второе уравнение преобразуем по формуле разности квадратов

Answer 2

Давайте рассмотрим данную систему уравнений:

1. $\sin^2(x) + \cos(y) = 1$
2. $\cos^2(x) + \cos(y) = 1$

Обратите внимание, что оба уравнения имеют вид $\cos(y) = 1 - \sin^2(x)$ и $\cos(y) = 1 - \cos^2(x)$. Мы можем использовать тригонометрическую идентичность $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, чтобы упростить уравнения:

1. $\sin^2(x) + \cos(y) = 1$ (сохраняем без изменений).
2. $1 - \cos^2(x) + \cos(y) = 1$

Теперь выразим $\cos^2(x)$ из второго уравнения:

$\cos^2(x) = 0$

Значит, $\cos(x) = 0$, что возможно, только если $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ для целых чисел $k$.

Теперь мы можем подставить значение $\cos(x)$ в первое уравнение:

$\sin^2(x) + \cos(y) = 1$

$\sin^2\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) + \cos(y) = 1$

Так как $\sin(\frac{\pi}{2} + k\pi)$ равен $1$ при нечетных значениях $k$ и $-1$ при четных значениях $k$, то у нас есть два случая:

1. При $k$ - нечетном (то есть $k = 2n + 1$ для некоторого целого $n$):

   $\sin^2\left(\frac{\pi}{2} + (2n + 1)\pi\right) + \cos(y) = 1$

   $(-1)^2 + \cos(y) = 1$

   $1 + \cos(y) = 1$

   $\cos(y) = 0$

   Это означает, что $y = \frac{\pi}{2} + m\pi$, где $m$ - целое число.

2. При $k$ - четном (то есть $k = 2n$ для некоторого целого $n$):

   $\sin^2\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) + \cos(y) = 1$

   $(1)^2 + \cos(y) = 1$

   $1 + \cos(y) = 1$

   $\cos(y) = 0$

   Это также означает, что $y = \frac{\pi}{2} + m\pi$, где $m$ - целое число.

Итак, решения системы уравнений:

1. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ и $y = \frac{\pi}{2} + m\pi$, где $k$ и $m$ - целые числа.
2. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ и $y = \frac{3\pi}{2} + m\pi$, где $k$ и $m$ - целые числа.