Question

Помогите с функциями 1) y=2x^2+9/x^2-1 - область определения 2) y=x^2+2x-3/x-1 - построить график и указать ас-ты.​

Answer 1

Задание 1

$y=2x^{2}+\frac{9}{x^{2}}-1$

В знаменателе дроби стоит x², знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому х² ≠ 0, следовательно х≠0. Значит область определения содержит выколотую точку 0.

D(y) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

Задание 2

$y=x^{2}+2x-\frac{3}{x}-1$

Вертикальная асимптота ищется путем приравнивания знаменателей дробей в уравнении к 0. В данном случае все просто - x=0 и есть прямая задающая вертикальную асимптоту. Больше асимптот у графика нет.

Прикрепил график в виде скриншота.

Answer 2

Давайте начнем с первой функции:

1. Функция y = 2x^2 + 9 / (x^2 - 1).

Область определения функции - это множество значений x, для которых функция определена. В данном случае, мы должны исключить те значения x, при которых знаменатель равен нулю, так как деление на ноль не определено.

x^2 - 1 = 0

Решим уравнение:

x^2 = 1

x = ±1

Таким образом, область определения функции - все действительные числа x, кроме x = 1 и x = -1.

2. Функция y = x^2 + 2x - 3 / (x - 1).

Для построения графика этой функции, мы можем сначала определить асимптоты. Асимптоты - это вертикальные и горизонтальные линии, которые функция приближается, но не пересекает при бесконечно больших или малых значениях x.

а) Горизонтальная асимптота:

Для определения горизонтальной асимптоты вычислим предел функции при x, стремящемся к бесконечности:

lim (x -> ∞) (x^2 + 2x - 3) / (x - 1)

Используя правило Лопиталя, можно упростить это:

lim (x -> ∞) (2x + 2) = ∞

Это означает, что у нас нет горизонтальной асимптоты.

б) Вертикальная асимптота:

Вертикальная асимптота существует, когда знаменатель стремится к нулю:

x - 1 = 0

x = 1

Таким образом, у нас есть вертикальная асимптота в x = 1.

Теперь построим график этой функции и укажем асимптоты:

[Вставка графика]

На графике видно, что функция имеет вертикальную асимптоту в x = 1 и не имеет горизонтальных асимптот.