Question

При каких значениях С уравнение не имеет корней? х4–12х2 + С = 0

Answer 1

$x^4 - 12x^2 + C = 0$

Введём замену: $t = x^2\ ;\ t\geq 0$ . В результате получаем простое квадратное уравнение:

$t^2 - 12t + C = 0$

Квадратное уравнение не имеет решений, когда его дискриминант меньше нуля. Дискриминант данного уравнения равен:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4\cdot 1\cdot C = 144 - 4C$ .

Получаем неравенство:

$144 - 4C < 0\\\\-4C < -144\ \ \ \ \ \Big| \cdot (-1)\\\\4C > 144\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Big| :4\\\\\boxed{C > 36}$

Ответ: данное уравнение не будет иметь корней при $C \in (36; +\infty)$ .

Answer 2

Чтобы определить, при каких значениях параметра C уравнение x^4 - 12x^2 + C = 0 не имеет корней, нужно рассмотреть его дискриминант. Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, дискриминант D определяется как D = b^2 - 4ac.

В вашем уравнении x^4 - 12x^2 + C = 0:

• a = 1 (коэффициент при x^4),
• b = 0 (коэффициент при x^2),
• c = C.

Теперь подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

D = 0^2 - 4 * 1 * C = -4C.

Теперь, чтобы уравнение не имело корней (было вырожденным), дискриминант D должен быть отрицательным (D < 0), так как в этом случае корни будут комплексными числами. Следовательно, чтобы уравнение x^4 - 12x^2 + C = 0 не имело корней, C должно быть положительным:

C < 0.

Таким образом, при значениях параметра C, меньших нуля, уравнение x^4 - 12x^2 + C = 0 не будет иметь действительных корней.