Question

Найти общее решение уравнения с разделяющимися переменными dy = (3x2 – 2x)dx.

Answer 1

Ответ:

$dy =(3 {x}^{2} - 2x) dx \\ \int\limits \: dy = \int\limits(3 {x}^{2} - 2x)dx \\ y = \frac{3 {x}^{3} }{3} - \frac{2 {x}^{2} }{2} + C \\ y = {x}^{3} - {x}^{2} + C$

общее решение

Answer 2

Чтобы найти общее решение уравнения с разделяющимися переменными dy = (3x^2 - 2x)dx, мы сначала разделим переменные, переместив все члены с y на одну сторону уравнения и все члены с x на другую сторону:

dy = (3x^2 - 2x)dx

Теперь давайте разделим обе стороны на выражение, зависящее от y на левой стороне (dy) и выражение, зависящее от x на правой стороне (3x^2 - 2x):

dy / (3x^2 - 2x) = dx

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны отдельно.

Сначала интегрируем левую сторону по y:

∫(1 / (3x^2 - 2x)) dy = ∫dx

Далее интегрируем правую сторону по x:

∫dx = x + C₁, где C₁ - произвольная постоянная интеграции.

Теперь давайте решим интеграл на левой стороне. Для этого сначала разложим знаменатель 3x^2 - 2x:

3x^2 - 2x = x(3x - 2)

Теперь мы можем разделить интеграл на два члена:

∫(1 / (x(3x - 2))) dy = x + C₁

Для интегрирования левой стороны мы можем воспользоваться методом частей. Выразим 1 / (x(3x - 2)) в виде суммы двух дробей:

1 / (x(3x - 2)) = A/x + B/(3x - 2)

Теперь найдем значения A и B, умножив обе стороны на x(3x - 2) и затем подставив различные значения x, чтобы найти A и B:

1 = A(3x - 2) + Bx

Подставим x = 0:

1 = A(-2)

A = -1/2

Теперь подставим x = 2/3:

1 = B(2/3)

B = 3/2

Итак, мы нашли A и B. Теперь можем записать интеграл на левой стороне в виде:

∫(-1/2x + 3/2(1/(3x - 2))) dy = x + C₁

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое:

-1/2 ∫(1/x) dy + 3/2 ∫(1/(3x - 2)) dy = x + C₁

-1/2 ln|x| + 3/2 * (1/3)ln|3x - 2| = x + C₁

-1/2 ln|x| + 1/2 ln|3x - 2| = x + C₁

Теперь объединим логарифмы с одинаковыми основаниями:

ln(|3x - 2|/|x|) = x + C₁

Теперь можем избавиться от логарифма, возводя обе стороны уравнения в экспоненту:

|3x - 2|/|x| = e^(x + C₁)

Поскольку e^(C₁) является константой, обозначим ее новой константой C:

|3x - 2|/|x| = Ce^x

Теперь рассмотрим два случая, в зависимости от знака x:

1. Если x > 0, то |x| = x, и |3x - 2| = 3x - 2:

(3x - 2)/x = Ce^x

3 - 2/x = Ce^x

3e^x - 2 = Cxe^x

3e^x - Cxe^x = 2

e^x(3 - Cx) = 2

2. Если x < 0, то |x| = -x, и |3x - 2| = -(3x - 2) = 2 - 3x:

-(2 - 3x)/x = Ce^x

(3x - 2)/x = Ce^x

3 - 2/x = Ce^x

3e^x - 2 = Cxe^x

3e^x - Cxe^x = 2

e^x(3 - Cx) = 2

Теперь у нас есть два решения в зависимости от знака x:

1. e^x(3 - Cx) = 2, если x > 0.
2. e^x(3 - Cx) = 2, если x < 0.

Это общее решение исходного уравнения dy = (3x^2 - 2x)dx.